数学 › Lie 群と Lie 環の表現論 › 行列 Lie 群と指数写像

連続準同型は Lie 環の準同型を誘導する

定理 5.1（「行列 Lie 群と指数写像」§5） ・ ✓公理まで証明済み

G,HG,H を行列 Lie 群、Φ ⁣:G→H\Phi\colon G\to H を連続な群準同型とする。このとき実線形写像 φ ⁣:g→h\varphi\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{h} がただ 1 つ存在して、すべての X∈gX\in\mathfrak{g} について

Φ(eX)=eφ(X)\Phi(e^X)=e^{\varphi(X)}

が成り立つ。さらに

  1. φ([X,Y])=[φ(X),φ(Y)]\varphi([X,Y])=[\varphi(X),\varphi(Y)]（Lie 環の準同型）、
  2. φ(gXg−1)=Φ(g)φ(X)Φ(g)−1\varphi(gXg^{-1})=\Phi(g)\varphi(X)\Phi(g)^{-1}（g∈Gg\in G）、
  3. Φ\Phi は滑らかで、dΦI=φd\Phi_I=\varphi

が成り立つ。φ\varphi を Φ\Phi の微分と呼び、dΦd\Phi と書く。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 21 件、定義なども含めて 24 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

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