数学 › 微分幾何学 › 曲率テンソル

Cartan の構造方程式

定理 6.2（「曲率テンソル」§6）・ ✓公理まで証明済み

Levi-Civita 接続について、次が成り立つ。

$\omega^i{}_j=-\omega^j{}_i$ （ $\omega$ は $\mathfrak{so}(n)$ 値）。
（第 1 構造方程式） $d\theta^i=-\sum_j\omega^i{}_j\wedge\theta^j$ 。
（第 2 構造方程式） $\Omega^i{}_j=d\omega^i{}_j+\sum_k\omega^i{}_k\wedge\omega^k{}_j$ 。行列記法で $\Omega=d\omega+\omega\wedge\omega$ 。

さらに、1 と 2 を満たす行列値 1 形式 $\omega$ はただ一つである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 16 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

1 形式の外微分の公式✓系 4.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- 微分形式の Lie 微分の性質✓命題 3.4・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - 引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    ウェッジ積定義 5.2・ベクトル場と微分形式
    外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
    外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式（上で展開済み）
  - $L_X Y$ は Lie 括弧✓定理 3.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - 内部積は反導分✓補題 4.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    ウェッジ積定義 5.2・ベクトル場と微分形式
  - 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式
    外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
    外積代数の基本性質✓定理 5.3・ベクトル場と微分形式
    シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
  - 微分形式の Lie 微分の性質✓命題 3.4・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
  - 外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式

これを使っている定理証明で参照している 1 件

スピン接続の曲率✓命題 6.9・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

関連するノック 4 問