数学 › 多様体論 › ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

微分形式の Lie 微分の性質

命題 3.4（「ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理」§3）・ ✓公理まで証明済み

$X$ をベクトル場、 $\alpha,\beta,\omega$ を微分形式、 $f$ を関数とする。

$L_Xf=Xf$ （ $L_X$ は $0$ 形式に対して定義 3.1 (1) と一致する）。
$L_X(\alpha\wedge\beta)=L_X\alpha\wedge\beta+\alpha\wedge L_X\beta$ 。
$L_X\,d\omega=d\,L_X\omega$ 。
$Y_1,\dots,Y_k$ をベクトル場、 $\omega$ を $k$ 形式とすると

X\bigl(\omega(Y_1,\dots,Y_k)\bigr)=(L_X\omega)(Y_1,\dots,Y_k)+\sum_{i=1}^k\omega(Y_1,\dots,[X,Y_i],\dots,Y_k).

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 9 件、定義なども含めて 12 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- ウェッジ積定義 5.2・ベクトル場と微分形式
- 外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
- 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式
  - 外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
  - 外積代数の基本性質✓定理 5.3・ベクトル場と微分形式
  - シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分
    シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
$L_X Y$ は Lie 括弧✓定理 3.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
1 形式の外微分の公式✓系 4.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

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