Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素：調和形式・Weitzenböck 公式・熱核

0. この記事の要点

地球の表面のように曲がった空間では、「穴がいくつあるか」という形の性質を、その上の微分方程式の解の個数として数えることができます。Hodge 理論はその仕組みを与えるもので、空間の曲がり方（曲率）が穴の個数を制限することも分かります。この記事を読むと、穴を測る量から標準的な代表を一つ選ぶ方法と、Ricci 曲率が正のときに 1 次元の穴（$b_1$）が現れない理由が分かります。

• 向き付けられた Riemann 多様体では、Hodge スター $\star\colon\Lambda^k\to\Lambda^{n-k}$ と L² 内積により、外微分 $d$ の形式的随伴（内積の中で $d$ を反対側へ移したときに現れる作用素）である余微分 $\delta$ が定まります（命題 3.2）。Hodge Laplacian $\Delta=d\delta+\delta d$ は関数の上で $-\operatorname{div}\operatorname{grad}$（Laplace–Beltrami 作用素）です。
• 閉多様体上で $\Delta\omega=0$ は $d\omega=0$ かつ $\delta\omega=0$ と同値です（命題 3.4）。調和形式・完全形式・余完全形式は互いに直交し、各 de Rham 類の調和代表元はあっても一つで、それは類の中でノルム最小です（命題 4.1）。
• Hodge の定理（定理 4.4）：$\Omega^k=\mathcal{H}^k\oplus d\Omega^{k-1}\oplus\delta\Omega^{k+1}$ で、$H^k_{\mathrm{dR}}(M)\cong\mathcal{H}^k$ です。Poincaré 双対性 $b_k=b_{n-k}$ が従います。必要な解析的事実（定理 4.2）は、$\Delta$ が Dirac 型作用素 $d+\delta$（1 階の微分作用素で、2 乗すると $\Delta$ になるもの。5 節で定義します）の 2 乗であることを使って、記事末の Appendix で証明します。
• Weitzenböck 公式（定理 5.3）：Dirac 型作用素の 2 乗は $D^2=\nabla^*\nabla+\mathcal{R}$（曲率項）です。$D=d+\delta$ の 1 形式では $\mathcal{R}=\operatorname{Ric}$（Bochner、系 5.4）、スピノルでは $\mathcal{R}=s/4$（Lichnerowicz、定理 5.5）。Ricci 曲率が正なら $b_1=0$、スカラー曲率が正なら調和スピノルはありません。
• スピン構造は正規直交枠の束の $\mathrm{Spin}(n)$ への持ち上げです。スピノル加群との同伴束としてスピノル束を作ると、Levi-Civita 接続から定まるスピン接続の曲率は $\frac14\sum_{k,l}R(X,Y,E_k,E_l)c(E_k)c(E_l)$ になり（命題 6.9）、Lichnerowicz 公式 $D^2=\nabla^*\nabla+s/4$ がスピノル束について完全に示されます（系 6.10）。
• 熱核の対角成分は $t\to0$ で $(4\pi t)^{-n/2}\bigl(1+\tfrac{s}{6}t+O(t^2)\bigr)$ と展開されます（定理 7.4）。平坦トーラスでは鏡像法で厳密に計算でき、球面では固有値の和から $s/6$ の項が読み取れます。

この記事で使う事前知識

• L² 内積: 2 つの関数や形式の各点での内積を、空間全体で積分したもの。→ 内積空間
• de Rham コホモロジー: 閉形式を完全形式で割った商空間で、空間の穴を測るもの。→ de Rham コホモロジー
• ウェッジ積: 微分形式どうしの、順序を入れ替えると符号が変わる積。→ ウェッジ積
• Ricci 曲率・スカラー曲率: 曲率テンソルを足し合わせて得る、曲がり具合を表す量。→ Ricci 曲率
• 測地線と正規座標: 空間の中の「まっすぐな線」と、それに沿って作る座標。→ 測地線
• ストークスの定理: 領域の内部での微分の積分が境界での積分になる、という関係。→ ストークスの定理

1. 動機

de Rham コホモロジー は「閉形式を完全形式で割った」商空間で、同じ類に属する閉形式は無数にあります。その中から標準的な代表元を一つ選ぶ方法を与えるのが Hodge 理論です。$\mathbb{R}^3$ のベクトル解析でいえば、ベクトル場を「勾配 + 回転 + 調和な部分」に分ける Helmholtz 分解の、多様体版にあたります。

選び方の原理は変分法です。計量を使って形式のノルムを測り、類の中でノルム最小のものを選ぶと、それは $d\omega=0$ に加えて $\delta\omega=0$ を満たす調和形式になります。こうして位相不変量（Betti 数）が、微分作用素 $\Delta$ の核の次元として解析的に表されます。この「位相 = 解析」の橋は、Weitzenböck 公式を通じて曲率とも結びつき（Bochner の方法）、熱核を通じて 指数定理 へとつながります。

格子上の場の理論でも同じ構造が現れます。格子上の微分形式（コチェイン）に差分作用素としての $d$ と、その随伴 $\delta$ を考えると、有限次元の線形代数として Hodge 分解が成り立ち、格子 Dirac 作用素の 2 乗が格子 Laplacian と曲率項に分かれます。本記事はその連続版です。

2. Hodge スター

$V$ を $n$ 次元の向き付けられた内積空間、$e_1,\dots,e_n$ を正の向きの正規直交基底、$\theta^1,\dots,\theta^n$ を双対基底とします。$\Lambda^kV^*$ には、$\theta^I=\theta^{i_1}\wedge\dots\wedge\theta^{i_k}$（$I=(i_1<\dots<i_k)$）が正規直交基底となる内積を入れます（ベクトル場と微分形式 の 定理 5.4［ベクトル場と微分形式］ の基底）。この内積は正規直交基底の取り方によりません（$\langle\alpha_1\wedge\dots\wedge\alpha_k,\beta_1\wedge\dots\wedge\beta_k\rangle=\det(\langle\alpha_i,\beta_j\rangle)$ と書けるため）。体積要素を $\mathrm{vol}=\theta^1\wedge\dots\wedge\theta^n$ とします。

定義 2.1（Hodge スター）↗

線形写像 $\star\colon\Lambda^kV^*\to\Lambda^{n-k}V^*$ を、すべての $\alpha,\beta\in\Lambda^kV^*$ について

$$\alpha\wedge\star\beta=\langle\alpha,\beta\rangle\,\mathrm{vol}$$

となるものとして定める。

命題 2.2（Hodge スターの性質）✓

1. $\star$ は一意に存在し、$\{1,\dots,n\}$ の置換 $(i_1,\dots,i_n)$ が偶置換なら $\star(\theta^{i_1}\wedge\dots\wedge\theta^{i_k})=\theta^{i_{k+1}}\wedge\dots\wedge\theta^{i_n}$。とくに $\star1=\mathrm{vol}$、$\star\mathrm{vol}=1$。
2. $\Lambda^k$ 上で $\star\star=(-1)^{k(n-k)}$。
3. $\star$ は等長写像：$\langle\star\alpha,\star\beta\rangle=\langle\alpha,\beta\rangle$。

証明（命題 2.2）

1。 $\Lambda^{n-k}\to(\Lambda^k)^*$、$\gamma\mapsto(\alpha\mapsto\alpha\wedge\gamma/\mathrm{vol})$ は単射（$\theta^I\wedge\theta^{J}$ は $J$ が $I$ の補集合のときだけ $0$ でない）で次元が等しいので同型です。よって $\langle\cdot,\beta\rangle$ に対応する $\star\beta$ が一意に存在します。基底について：$\beta=\theta^{i_1}\wedge\dots\wedge\theta^{i_k}$、$\gamma=\theta^{i_{k+1}}\wedge\dots\wedge\theta^{i_n}$ とすると、$\theta^J\wedge\gamma$ は $J=(i_1,\dots,i_k)$（並べ替え）のときだけ $0$ でなく、$\beta\wedge\gamma=\mathrm{vol}$（偶置換）です。

2。 1 の基底で、$\star\star\beta=\star\gamma=\pm\beta$ で、符号は置換 $(i_{k+1},\dots,i_n,i_1,\dots,i_k)$ の符号です。これは $(i_1,\dots,i_n)$ から $k(n-k)$ 回の互換で得られるので $(-1)^{k(n-k)}$ です。

3。 基底 $\theta^I$ を基底 $\pm\theta^{I^c}$ に写すので、正規直交基底を正規直交基底に写します。

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$\mathbb{R}^3$ では $\star dx=dy\wedge dz$、$\star dy=dz\wedge dx$、$\star dz=dx\wedge dy$ で、ベクトル積 $\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}$ は $\star(a^\flat\wedge b^\flat)$ に対応します（例 5.5［ベクトル場と微分形式］）。4 次元 Minkowski 空間では $\star$ が電場と磁場を入れ替え、Maxwell 方程式は $dF=0$、$d\star F=\star J$ と書けます。

3. 余微分と Hodge Laplacian

以下 $(M,g)$ は向き付けられたコンパクトな $n$ 次元 Riemann 多様体（境界なし）とし、各点の接空間に §2 の構成を施して $\star\colon\Omega^k(M)\to\Omega^{n-k}(M)$ と体積形式 $\mathrm{vol}$ を得ます。$k$ 形式の L² 内積を

$$(\alpha,\beta)=\int_M\langle\alpha,\beta\rangle\,\mathrm{vol}=\int_M\alpha\wedge\star\beta$$

で定めます。

定義 3.1（余微分と Hodge Laplacian）↗

$k$ 形式 $\beta$ に対し $\delta\beta=(-1)^{n(k+1)+1}\star d\star\beta\in\Omega^{k-1}(M)$ を余微分、$\Delta=d\delta+\delta d\colon\Omega^k\to\Omega^k$ を Hodge Laplacian という。$\Delta\omega=0$ となる $\omega$ を調和形式といい、その全体を $\mathcal{H}^k$ と書く。

命題 3.2（余微分は外微分の随伴）✓

$\alpha\in\Omega^{k-1}(M)$、$\beta\in\Omega^k(M)$ に対し $(d\alpha,\beta)=(\alpha,\delta\beta)$。また $\delta\circ\delta=0$。

証明の方針は、$d(\alpha\wedge\star\beta)$ を Stokes の定理で積分して $0$ にし、$(d\alpha,\beta)$ を $(\alpha,\star d\star\beta)$ の形に移すことです。符号は $\star\star=(-1)^{k(n-k)}$ を $n-k+1$ 形式に使うところで現れ、最後に指数の偶奇だけを見て整理します。

証明（命題 3.2）

外微分の Leibniz 則から $d(\alpha\wedge\star\beta)=d\alpha\wedge\star\beta+(-1)^{k-1}\alpha\wedge d\star\beta$ です。$d\star\beta$ は $n-k+1$ 形式なので、命題 2.2 2 から $d\star\beta=(-1)^{(n-k+1)(k-1)}\star\star d\star\beta$ で、

$$\alpha\wedge d\star\beta=(-1)^{(n-k+1)(k-1)}\langle\alpha,\star d\star\beta\rangle\,\mathrm{vol}.$$

左辺を積分すると Stokes の定理（系 6.2［ストークスの定理］）により $0$ なので、$(d\alpha,\beta)=(-1)^{k+(n-k+1)(k-1)}(\alpha,\star d\star\beta)$ です。指数は $k(k-1)$ が偶数であることを使うと $n(k-1)+2k-1\equiv n(k+1)+1\pmod2$ に等しく、右辺は $(\alpha,\delta\beta)$ です。$\delta\delta=\pm\star d\star\star d\star=\pm\star dd\star=0$ です。

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命題 3.3（関数の Laplacian）✓

ベクトル場 $X$ に対し $(\operatorname{div}X)\,\mathrm{vol}=d(\iota_X\mathrm{vol})$ が成り立ち、$\int_M\operatorname{div}X\,\mathrm{vol}=0$ である。1 形式 $\omega=X^\flat$（$\omega(Y)=\langle X,Y\rangle$）について $\delta\omega=-\operatorname{div}X$。したがって関数 $f$ について

$$\Delta f=\delta df=-\operatorname{div}\operatorname{grad}f=-\frac1{\sqrt{|g|}}\sum_{i,j}\partial_i\bigl(\sqrt{|g|}\,g^{ij}\partial_jf\bigr).$$

証明（命題 3.3）

正の向きの座標では $\mathrm{vol}=\sqrt{|g|}\,dx^1\wedge\dots\wedge dx^n$ です（正規直交余枠との変換行列の行列式が $\sqrt{|g|}$）。$\iota_X\mathrm{vol}=\sum_i(-1)^{i-1}X^i\sqrt{|g|}\,dx^1\wedge\dots\widehat{dx^i}\dots\wedge dx^n$ を外微分すると $\sum_i\partial_i(\sqrt{|g|}X^i)\,dx^1\wedge\dots\wedge dx^n$ で、命題 5.5［Riemann 計量と Levi-Civita 接続］ によりこれは $(\operatorname{div}X)\mathrm{vol}$ です。積分が $0$ なのは Stokes の定理です。

任意の関数 $f$ について、命題 3.2 と $\operatorname{div}(fX)=f\operatorname{div}X+Xf$ から

$$(f,\delta\omega)=(df,\omega)=\int_MXf\,\mathrm{vol}=-\int_Mf\operatorname{div}X\,\mathrm{vol}.$$

$f=\delta\omega+\operatorname{div}X$ と取れば $\int(\delta\omega+\operatorname{div}X)^2\mathrm{vol}=0$ で、被積分関数は連続なので $\delta\omega=-\operatorname{div}X$ です。$\operatorname{grad}f=(df)^\sharp$ を代入すれば最後の式を得ます。

∎

符号に注意してください。この $\Delta$ は $\mathbb{R}^n$ で $-\sum\partial_i^2$ となる正の作用素です（次の命題で $(\Delta f,f)=\|df\|^2\ge0$）。解析学の慣習 $\Delta=\sum\partial_i^2$ とは符号が逆です。

命題 3.4（調和形式の特徴づけ）✓

$(\Delta\omega,\omega)=\|d\omega\|^2+\|\delta\omega\|^2$。したがって $\Delta\omega=0$ と「$d\omega=0$ かつ $\delta\omega=0$」は同値である。とくに連結な $M$ 上の調和関数は定数である。

証明（命題 3.4）

命題 3.2 から $(d\delta\omega,\omega)=(\delta\omega,\delta\omega)$、$(\delta d\omega,\omega)=(d\omega,d\omega)$ です。$\Delta\omega=0$ なら右辺の和が $0$ で、両方のノルムが $0$ です。逆は明らかです。関数では $\delta f=0$ なので $df=0$、連結なら定数です。

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4. Hodge 分解

命題 4.1（Hodge 分解の直交性と調和代表元の一意性）✓

1. $\mathcal{H}^k$、$d\Omega^{k-1}$、$\delta\Omega^{k+1}$ は L² 内積について互いに直交する。
2. 閉形式 $\omega$ について、$\omega+d\eta$ の形の調和形式は高々一つである。
3. $\omega$ が閉かつ $\delta\omega=0$ なら、$\|\omega+d\eta\|\ge\|\omega\|$ がすべての $\eta$ について成り立ち、等号は $d\eta=0$ のときに限る。

証明（命題 4.1）

1。 $(d\alpha,\delta\beta)=(dd\alpha,\beta)=0$、$h\in\mathcal{H}$ に対し $(h,d\alpha)=(\delta h,\alpha)=0$、$(h,\delta\beta)=(dh,\beta)=0$ です（命題 3.4、命題 3.2）。

2。 $h_1=\omega+d\eta_1$、$h_2=\omega+d\eta_2$ がともに調和なら、$h_1-h_2=d(\eta_1-\eta_2)$ は調和かつ完全で、1 により自分自身と直交するので $0$ です。

3。 $\|\omega+d\eta\|^2=\|\omega\|^2+2(\delta\omega,\eta)+\|d\eta\|^2=\|\omega\|^2+\|d\eta\|^2$ です。

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3 は変分原理を表しています。類 $[\omega]$ の中で $\|\cdot\|^2$ を最小にする形式があれば、それは $\delta\omega=0$ を満たし（第一変分 $(\omega,d\eta)=0$ がすべての $\eta$ について成り立つ）、調和です。問題は最小点の存在で、これは無限次元の変分問題なので解析が必要です。

その存在を保証するのが次の定理です。$\Delta$ は楕円型作用素（Laplacian に似て、方程式 $\Delta\beta=\alpha$ が扱いやすい性質をもつ微分作用素）で、$\alpha$ が調和形式と直交していれば $\Delta\beta=\alpha$ が解ける、というのがその内容です。証明の中身は Appendix にあり、ここでは「$\Delta=D^2$ だから Dirac 型作用素 $D=d+\delta$ の理論に帰着する」という見取り図だけ持っておけば先へ進めます。

閉形式の全体を平面で表した模式図。横軸が完全形式 dΩ、縦軸が調和形式 ℋ（互いに直交する）。de Rham 類 [ω] は横軸に平行な直線 ω + dΩ で、縦軸との交点 h が調和代表元であり、類の中で原点に最も近い（ノルム最小の）点になる。余完全形式 δΩ は、この平面に直交する方向にあたる。

定理 4.2（Hodge Laplacian の解析的性質）✓

$M$ を向き付けられたコンパクトな Riemann 多様体とする。各 $k$ について $\mathcal{H}^k$ は有限次元であり、$\Omega^k(M)$ の L² 直交補空間 $(\mathcal{H}^k)^\perp\cap\Omega^k$ の任意の元 $\alpha$ に対し、$\Delta\beta=\alpha$ となる $\beta\in\Omega^k(M)$ が存在する。

証明（定理 4.2）

$S=\Lambda^\bullet T^*M$ は $c(v)=v^\flat\wedge-\iota_v$ で Clifford 加群になり、その Dirac 型作用素は $D=d+\delta$、$D^2=\Delta$ です（5 節、補題 5.1）。記事末の Appendix の 定理 8.12 をこの $D$ に適用します。

核。 $K=\lbrace u\in L^2(S) : (u,D\varphi)=0\ (\varphi\in\Omega^\bullet)\rbrace$ は、定理 8.12 の 2 から滑らかな形式からなる有限次元空間で、$K=\lbrace\omega\in\Omega^\bullet : D\omega=0\rbrace$ です。$\omega\in K$ なら $\Delta\omega=D^2\omega=0$ で、$\Delta$ は次数を保つので各次数の成分 $\omega_k$ も調和です。逆に調和形式は 命題 3.4 から $d\omega=\delta\omega=0$、したがって $D\omega=0$ をみたします。よって $K=\bigoplus_k\mathcal{H}^k$ で、各 $\mathcal{H}^k$ は有限次元です。

方程式。 $\alpha\in\Omega^k$ が $\mathcal{H}^k$ に直交するとします。次数の異なる形式は各点で直交するので、$\alpha$ は $\mathcal{H}^j$（$j\ne k$）にも直交し、$\alpha\perp K$ です。定理 8.12 の 3 から $D\gamma=\alpha$ となる $\gamma\in\Omega^\bullet$ で $\gamma\perp K$ なるものがあり、同じ理由で $D\beta'=\gamma$ となる $\beta'\in\Omega^\bullet$ があります。$\Delta\beta'=D^2\beta'=\alpha$ で、$\Delta$ は次数を保つので、$\beta'$ の $k$ 次の成分 $\beta$ について $\Delta\beta=\alpha$ です。

∎

注意 4.3（解析的入力の証明の方針）

定理 4.2 は $\Delta$ が楕円型作用素であることの帰結で、一般には (i) Sobolev 空間での Gårding 不等式、(ii) Rellich のコンパクト埋め込み、(iii) 楕円正則性（弱解は滑らか）から導かれます。Euclid 空間（領域）での対応する結果は、(i) が 定理 4.1［楕円型方程式の弱解と変分法］、(ii) が 定理 5.1［Sobolev 空間］、(iii) の 2 階の場合が 定理 3.1［楕円型正則性と最大値原理］ です。Appendix では、$\Delta$ が 1 階の Dirac 型作用素 $D=d+\delta$ の 2 乗であることを使って、必要な範囲を短く証明しました。(i) は Weitzenböck 公式から直接出て、(ii) はチャートで Euclid 空間の Rellich の定理に帰着し、(iii) は Friedrichs の軟化子で 1 階分の滑らかさを得たうえで、共変微分した切断にもう一度同じ議論を使って滑らかさを積み上げます。一般の楕円型作用素（高階、Dirac 型でないもの）の理論は擬微分作用素を使うのが普通で、Warner の Chapter 6、Roe の Chapter 5 に完全な証明があります。

定理 4.4（Hodge の定理）✓

$M$ を向き付けられたコンパクトな Riemann 多様体とする。

1. L² 直交分解 $\Omega^k(M)=\mathcal{H}^k\oplus d\Omega^{k-1}(M)\oplus\delta\Omega^{k+1}(M)$ が成り立つ。
2. 各 de Rham 類はただ一つの調和代表元を持ち、$H^k_{\mathrm{dR}}(M)\cong\mathcal{H}^k$。とくに Betti 数 $b_k=\dim H^k_{\mathrm{dR}}(M)$ は有限である。
3. （Poincaré 双対性）$\star$ は同型 $\mathcal{H}^k\cong\mathcal{H}^{n-k}$ を与え、$b_k=b_{n-k}$。

証明（定理 4.4）

1。 $\omega\in\Omega^k$ を取り、$\mathcal{H}^k$ の L² 正規直交基底 $h_1,\dots,h_m$ で $h=\sum_i(\omega,h_i)h_i$ と置きます。$\omega-h\perp\mathcal{H}^k$ なので、定理 4.2 により $\Delta\beta=\omega-h$ となる $\beta$ があり、

$$\omega=h+d(\delta\beta)+\delta(d\beta)$$

です。3 つの部分空間の直交性は 命題 4.1 1 です。

2。 $\omega$ が閉とし、1 の分解 $\omega=h+d\alpha+\delta\gamma$ を取ります。$d\omega=0$ と $dh=0$ から $d\delta\gamma=0$ で、$\|\delta\gamma\|^2=(\gamma,d\delta\gamma)=0$。よって $\omega=h+d\alpha$ で、$[\omega]$ は調和代表元 $h$ を持ちます。一意性は 命題 4.1 2 です。写像 $\mathcal{H}^k\to H^k_{\mathrm{dR}}$、$h\mapsto[h]$ は、いま示したことにより全単射です。

3。 $\omega$ が調和なら $d\star\omega=\pm\star\star d\star\omega=\pm\star\delta\omega=0$、$\delta\star\omega=\pm\star d\star\star\omega=\pm\star d\omega=0$ なので $\star\omega$ も調和です。$\star$ は可逆（命題 2.2 2）なので同型です。

∎

平坦トーラスでは、定理 4.2 に頼らずに調和形式を決定できます。

例 4.5（平坦トーラスの調和形式）

$T^n=\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n$ に Euclid 計量を入れる。$dx^I$ は平行な正規直交余枠から作られるので、§5 の 補題 5.1 により $d=\sum_idx^i\wedge\partial_i$、$\delta=-\sum_i\iota_{\partial_i}\partial_i$（$\partial_i$ は係数の偏微分）である。$dx^i\wedge\iota_{\partial_j}+\iota_{\partial_j}dx^i\wedge=\delta_{ij}$ を使うと

$$\Delta\Bigl(\sum_If_Idx^I\Bigr)=\sum_I\Bigl(-\sum_i\partial_i^2f_I\Bigr)dx^I.$$

したがって $\omega=\sum f_Idx^I$ が調和であることは各 $f_I$ が調和関数であることと同値で、命題 3.4 により各 $f_I$ は定数である。よって $\mathcal{H}^k$ は定数係数の $k$ 形式の空間で、$\dim\mathcal{H}^k=\binom nk$。定理 4.4 と合わせて $b_k(T^n)=\binom nk$ を得る（$n=2$ は 例 5.5［de Rham コホモロジー］ と一致する）。

5. Weitzenböck 公式

$d$ と $\delta$ を Levi-Civita 接続で書き直すと、$\Delta$ と「接続の Laplacian」$\nabla^*\nabla$ の差が曲率で表されることがわかります。接続は微分形式に、ウェッジ積と内部積に関する Leibniz 則を満たし計量と両立するように延びます（命題 5.5［Riemann 計量と Levi-Civita 接続］ の直前の段落と同じ構成）。

計算には、点 $p$ で $(\nabla E_i)_p=0$ となる局所正規直交枠（同期枠）を使います。正規座標（測地線と完備性）で、$T_pM$ の正規直交基底を動径測地線に沿って平行移動すれば得られます。動径方向 $v$ について $\nabla_vE_i(p)=D_tE_i(0)=0$ だからです。同期枠では $p$ で $[E_i,E_j]=\nabla_{E_i}E_j-\nabla_{E_j}E_i=0$ です。

補題 5.1（外微分と余微分の共変微分表示）✓

局所正規直交枠 $E_i$ と双対余枠 $\theta^i$ について

$$d=\sum_i\theta^i\wedge\nabla_{E_i},\qquad\delta=-\sum_i\iota_{E_i}\nabla_{E_i}.$$

証明（補題 5.1）

右辺 $d'=\sum_i\theta^i\wedge\nabla_{E_i}$ は、$\nabla\omega$ を反対称化したものなので枠によりません。$\nabla_{E_i}$ がウェッジ積の導分で、$\theta^i\wedge$ を $k$ 形式の前に移すと $(-1)^k$ が出るので、$d'$ は次数 $1$ の反導分です。関数では $d'f=\sum(E_if)\theta^i=df$ です。$d'(df)=\sum_{i,j}(\nabla_{E_i}df)(E_j)\,\theta^i\wedge\theta^j$ で、$(\nabla_Xdf)(Y)=XYf-(\nabla_XY)f$ は捩れなしから $X,Y$ について対称なので $d'(df)=0=d(df)$ です。局所的にすべての形式は $f\,dx^{i_1}\wedge\dots\wedge dx^{i_k}$ の和で、反導分は関数と $dx^i$ での値で決まるので、$d'=d$ です（定理 6.2［ベクトル場と微分形式］ の一意性の議論と同じ）。

$\delta'=-\sum_i\iota_{E_i}\nabla_{E_i}$ が $d$ の形式的随伴であることを示します。各点で $\langle\theta^i\wedge\alpha,\beta\rangle=\langle\alpha,\iota_{E_i}\beta\rangle$ です（基底 $\theta^I$ で確かめられる）。ベクトル場 $Y$ を $\langle Y,X\rangle=\langle\alpha,\iota_X\beta\rangle$ で定めると、同期枠を使って $p$ で

$$\operatorname{div}Y=\sum_iE_i\langle\alpha,\iota_{E_i}\beta\rangle=\sum_i\langle\nabla_{E_i}\alpha,\iota_{E_i}\beta\rangle+\sum_i\langle\alpha,\iota_{E_i}\nabla_{E_i}\beta\rangle=\langle d\alpha,\beta\rangle-\langle\alpha,\delta'\beta\rangle.$$

積分すると 命題 3.3 により左辺は $0$ で、$(d\alpha,\beta)=(\alpha,\delta'\beta)$ です。命題 3.2 と比べて $(\alpha,\delta\beta-\delta'\beta)=0$ がすべての $\alpha$ で成り立つので、$\alpha=\delta\beta-\delta'\beta$ と取って $\delta=\delta'$ です。

∎

この表示を一般化した枠組みが Dirac 型作用素です。Clifford 加群とは、各接ベクトル $v$ に作用素 $c(v)$ を対応させ、$c(v)^2=-|v|^2$ という関係をみたすようにしたものです。微分形式の場合は $c(v)=v^\flat\wedge-\iota_v$ で、これを使うと $d+\delta$ が $\sum_ic(E_i)\nabla_{E_i}$ の形に書けます。

定義 5.2（Clifford 加群と Dirac 型作用素）↗

$S\to M$ を計量と、それと両立する接続 $\nabla$ を持つベクトル束とする。各 $v\in T_pM$ に対し $c(v)\in\operatorname{End}(S_p)$ が $v$ について線形で、$c(v)^2=-|v|^2$、$c(v)^*=-c(v)$、$\nabla_X(c(Y)\psi)=c(\nabla_XY)\psi+c(Y)\nabla_X\psi$ を満たすとき、$S$ を Clifford 加群といい、$D=\sum_ic(E_i)\nabla_{E_i}$ を Dirac 型作用素という。また $\nabla^*\nabla=-\sum_i\bigl(\nabla_{E_i}\nabla_{E_i}-\nabla_{\nabla_{E_i}E_i}\bigr)$ を接続 Laplacian という。

$S=\Lambda^\bullet T^*M$、$c(v)=v^\flat\wedge-\iota_v$ は Clifford 加群です（$c(v)^2=-(v^\flat\wedge\iota_v+\iota_vv^\flat\wedge)=-|v|^2$）。補題 5.1 から $D=d+\delta$ で、$D^2=d\delta+\delta d=\Delta$ です（$d^2=\delta^2=0$）。同期枠を使った 補題 5.1 と同じ計算で、$(D\psi,\varphi)=(\psi,D\varphi)$、$(\nabla^*\nabla\psi,\varphi)=(\nabla\psi,\nabla\varphi)$ が示せます（$\langle Y,X\rangle=\langle c(X)\psi,\varphi\rangle$ や $\langle\nabla_X\psi,\varphi\rangle$ で定めた $Y$ の発散を積分する）。

定理 5.3（Weitzenböck 公式）✓

Clifford 加群 $S$ の接続の曲率を $F(X,Y)=\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X-\nabla_{[X,Y]}$ とすると

$$D^2=\nabla^*\nabla+\mathcal{R},\qquad\mathcal{R}=\frac12\sum_{i,j}c(E_i)c(E_j)F(E_i,E_j).$$

証明の方針は、$D^2$ を二重和に展開し、$i=j$ の項から $\nabla^*\nabla$ を、$i\ne j$ の項から曲率 $F$ を取り出すことです。

証明（定理 5.3）

両辺は枠によらないので、点 $p$ で同期枠を使って示します。$p$ では $\nabla_{E_i}E_j=0$ なので、Clifford 作用と接続の両立条件から

$$D^2\psi=\sum_{i,j}c(E_i)\nabla_{E_i}\bigl(c(E_j)\nabla_{E_j}\psi\bigr)=\sum_{i,j}c(E_i)c(E_j)\nabla_{E_i}\nabla_{E_j}\psi.$$

$i=j$ の項は $c(E_i)^2=-1$ から $-\sum_i\nabla_{E_i}\nabla_{E_i}\psi=\nabla^*\nabla\psi$ です。$i\ne j$ の項は $c(E_i)c(E_j)=-c(E_j)c(E_i)$（$c(E_i+E_j)^2=-2$ を展開して得る）なので、$\frac12\sum_{i\ne j}c(E_i)c(E_j)(\nabla_{E_i}\nabla_{E_j}-\nabla_{E_j}\nabla_{E_i})\psi$ にまとめられ、$p$ で $[E_i,E_j]=0$ だから括弧の中は $F(E_i,E_j)$ です。$i=j$ では $F(E_i,E_i)=0$ なので、和を全体に延ばせます。

∎

系 5.4（Bochner の公式と消滅定理）✓

1 形式 $\omega$ について $\Delta\omega=\nabla^*\nabla\omega+\operatorname{Ric}(\omega)$。ここで $\operatorname{Ric}(\omega)$ は $\operatorname{Ric}$ を計量で 1 形式に作用させたもの（$\operatorname{Ric}(\theta^a)=\sum_j\operatorname{Ric}(E_a,E_j)\theta^j$）である。したがって $M$ が連結で：

1. $\operatorname{Ric}\ge0$ なら、調和 1 形式はすべて平行で、$b_1(M)\le n$。
2. $\operatorname{Ric}>0$（すべての単位ベクトルで正）なら $b_1(M)=0$。

証明は二段構成です。まず 1 形式について $\mathcal{R}$ を具体的に計算して Ricci 曲率が現れることを示し、次に $0=(\Delta\omega,\omega)$ の各項が非負であることから $\nabla\omega=0$ を導きます。証明中の展開式は、$c(E_j)\theta^b=\theta^j\wedge\theta^b-\delta_{jb}$ にもう一度 $c(E_i)$ を作用させて得られます。

証明（系 5.4）

1 形式への曲率の作用は $(F(X,Y)\omega)(Z)=-\omega(R(X,Y)Z)$ なので、$F(E_i,E_j)\theta^a=-\sum_bR_{ijba}\theta^b$（$R_{ijba}=\langle R(E_i,E_j)E_b,E_a\rangle$）です。1 形式 $\theta^b$ に $c(E_i)c(E_j)$ を作用させると

$$c(E_i)c(E_j)\theta^b=\theta^i\wedge\theta^j\wedge\theta^b-\delta_{ij}\theta^b+\delta_{ib}\theta^j-\delta_{jb}\theta^i$$

です。3 形式の部分は $\sum_{i,j,b}R_{ijba}\theta^i\wedge\theta^j\wedge\theta^b$ に寄与し、第 1 Bianchi 恒等式（命題 3.1［曲率テンソル］ 3）により $0$ です。$\delta_{ij}$ の項は $R_{iiba}=0$ で消えます。残りは

$$\mathcal{R}\theta^a=\frac12\sum_{i,j}\bigl(-R_{ijia}\theta^j+R_{ijja}\theta^i\bigr)=\sum_j\operatorname{Ric}(E_a,E_j)\theta^j$$

です。ここで $\sum_iR_{ijia}=-\sum_iR_{ijai}=-\operatorname{Ric}(E_j,E_a)$ と、同様に $\sum_jR_{ijja}=\operatorname{Ric}(E_i,E_a)$（命題 3.1［曲率テンソル］ 1、2、4）を使いました。

1。 $\omega$ が調和なら $0=(\Delta\omega,\omega)=\|\nabla\omega\|^2+\int_M\operatorname{Ric}(\omega^\sharp,\omega^\sharp)\mathrm{vol}$ で、両項とも非負なので $\nabla\omega=0$ です。平行な形式は 1 点での値で決まる（平行移動の一意性）ので、$\dim\mathcal{H}^1\le n$ で、定理 4.4 2 から $b_1\le n$ です。

2。 さらに $\operatorname{Ric}(\omega^\sharp,\omega^\sharp)=0$ から $\omega=0$ で、$\mathcal{H}^1=0$、$b_1=0$ です。

∎

平坦トーラスでは $\operatorname{Ric}=0$ で、調和 1 形式 $dx^i$ はちょうど平行で $b_1=n$ です（例 4.5）。不等式 1 は最良です。

スピン多様体上のスピノル束 $S$ は Clifford 加群で、その接続の曲率は Riemann 曲率の $\mathfrak{spin}(n)$ への持ち上げ

$$F(X,Y)=\frac14\sum_{k,l}R(X,Y,E_k,E_l)\,c(E_k)c(E_l)$$

で与えられます。スピノル束の構成と、その接続がこの形の曲率をもつことの証明は 6 節で行います（命題 6.9）。ここでは、この形の曲率を持つ Clifford 加群について次を示します。

定理 5.5（Lichnerowicz の公式）✓

Clifford 加群 $S$ の曲率が上の形ならば $D^2=\nabla^*\nabla+\tfrac s4$（$s$ はスカラー曲率）。とくに $M$ がコンパクトで $s>0$ なら $D\psi=0$ となる $\psi$ は $0$ だけである。

証明（定理 5.5）

定理 5.3 に代入すると $\mathcal{R}=\frac18\sum_{i,j,k,l}R_{ijkl}c_ic_jc_kc_l$（$c_i=c(E_i)$）です。$l$ を固定して $\sum_{i,j,k}R_{ijkl}c_ic_jc_k$ を計算します。$i,j,k$ が相異なる項は、$c_ic_jc_k$ が添字について完全反対称なので第 1 Bianchi 恒等式の巡回和に比例して消えます。$i=j$ の項は $R_{iikl}=0$。$i=k\ne j$ の項は $c_ic_jc_i=c_j$ から $\sum_{i,j}R_{ijil}c_j=-\sum_j\operatorname{Ric}_{jl}c_j$。$j=k\ne i$ の項は $c_ic_jc_j=-c_i$ から $-\sum_{i,j}R_{ijjl}c_i=-\sum_i\operatorname{Ric}_{il}c_i$。よって

$$\mathcal{R}=\frac18\sum_l\Bigl(-2\sum_j\operatorname{Ric}_{jl}c_j\Bigr)c_l=-\frac14\sum_{j,l}\operatorname{Ric}_{jl}c_jc_l=-\frac14\sum_j\operatorname{Ric}_{jj}c_j^2=\frac s4.$$

$j\ne l$ の項は $\operatorname{Ric}$ の対称性と $c_jc_l$ の反対称性で消えます。後半は、$D\psi=0$ なら $0=\|D\psi\|^2=\|\nabla\psi\|^2+\int_M\tfrac s4|\psi|^2\mathrm{vol}$ から従います。

∎

Lichnerowicz の公式は、指数定理 と組み合わせると強力です。$s>0$ のコンパクトなスピン多様体では Dirac 作用素の指数が $0$ になり、$\hat A$ 種数が消えます（例 3.4［指数定理］）。これは正のスカラー曲率を許す多様体への位相的障害です。

6. スピン構造とスピノル束

定理 5.5 の仮定を満たす Clifford 加群を、実際に構成します。材料は、回転群 $SO(n)$ の 2 重被覆 $\rho\colon\mathrm{Spin}(n)\to SO(n)$（定理 8.6［行列 Lie 群と指数写像］）です。そこでは $\mathrm{Spin}(n)$ を外積代数 $\Lambda=\Lambda(\mathbb{R}^n)$ 上の作用素 $c(v)=\varepsilon(v)-\iota(v)$ の偶数個の積として作り、$a\,c(x)\,a^{-1}=c(\rho(a)x)$ で $\rho$ を定めました。以下 $c_i=c(e_i)$ と書きます。接ベクトルの正規直交枠を回すと $SO(n)$ の元が得られますが、スピノルはその 2 重被覆の側で変換します。枠の回転を $\mathrm{Spin}(n)$ に大域的に持ち上げられるか、というのがスピン構造の問題です。

6.1. スピン構造

直感的には、向きつき正規直交枠のなす回転群 $SO(n)$ の代わりに、その 2 重被覆 $\mathrm{Spin}(n)$ で枠を扱えるか、という問題です。$SO(n)$ の中で閉じたループ（たとえば平面内の $2\pi$ 回転）も、$\mathrm{Spin}(n)$ では $1$ から $-1$ へ移るだけで閉じません。スピン構造とは、この符号の食い違いを多様体全体でつじつまが合うように選ぶことです。

$(M,g)$ を向き付けられた $n$ 次元 Riemann 多様体（$n\ge2$）とし、各点の正の向きの正規直交枠の全体がなす主 $SO(n)$ 束を $P_{SO}$ とします（例 3.2［ファイバー束・主束と接続］ 1 の $O(n)$ 束を向きで制限したもの）。枠 $E=(E_1,\dots,E_n)$ に $A\in SO(n)$ が $EA=(\sum_iE_iA_{i1},\dots,\sum_iE_iA_{in})$ と右から作用します。

定義 6.1（スピン構造）↗

$M$ のスピン構造とは、主 $\mathrm{Spin}(n)$ 束 $P_{\mathrm{Spin}}\to M$ と滑らかな写像 $\xi\colon P_{\mathrm{Spin}}\to P_{SO}$ の組で、$\xi$ がファイバーを保ち、すべての $q\in P_{\mathrm{Spin}}$、$a\in\mathrm{Spin}(n)$ について $\xi(qa)=\xi(q)\rho(a)$ をみたすものをいう。スピン構造をもつ向き付けられた Riemann 多様体をスピン多様体という。

各ファイバーで $\xi$ は 2 対 1 です。実際 $\xi(qa)=\xi(q)$ と $\rho(a)=I$、すなわち $a=\pm1$（定理 8.6［行列 Lie 群と指数写像］ の核）は同値です。計算には次の意味の局所的な持ち上げを使います。$U$ を単連結な開集合、$E$ を $U$ 上の正の向きの正規直交枠とし、$P_{\mathrm{Spin}}$ が $U$ 上に局所切断 $q_0$ をもつとします（局所自明性から、$U$ を小さく取ればよい）。$\xi(q_0)=EA$ で $A\colon U\to SO(n)$ が定まり、$U$ が単連結で $\rho$ が被覆写像なので、$A$ は滑らかな $\tilde A\colon U\to\mathrm{Spin}(n)$（$\rho\circ\tilde A=A$）に持ち上がります（定理 5.1［基本群と被覆空間］。被覆写像は局所微分同相なので持ち上げは滑らか）。$q=q_0\tilde A^{-1}$ とおけば $\xi(q)=EAA^{-1}=E$ です。このような $q$ を $E$ の持ち上げと呼びます。連結な $U$ 上では、持ち上げは $\pm q$ の二つです。

スピン構造があれば $\xi$ は $P_{SO}$ の 2 重被覆になります。逆に、$P_{SO}$ の 2 重被覆で各ファイバー $SO(n)$ の上では $\rho$ のように振る舞うものがあれば、そこに $\mathrm{Spin}(n)$ の作用を入れてスピン構造にできます。被覆空間の Galois 対応（定理 7.4［基本群と被覆空間］）により、2 重被覆は基本群の指数 $2$ の部分群で決まるので、スピン構造の存在と分類は $\pi_1(P_{SO})$ の言葉で書けます。二つのスピン構造 $(P,\xi)$、$(P',\xi')$ が同型であるとは、$\mathrm{Spin}(n)$ の作用と可換な微分同相 $f\colon P\to P'$ で $\xi'\circ f=\xi$ をみたすものがあることをいいます。

定理 6.2（スピン構造の存在と分類）✓

$n\ge3$ とし、$M$ を連結な向き付けられた $n$ 次元 Riemann 多様体、$\pi\colon P_{SO}\to M$ を射影、$q_0\in P_{SO}$、$x_0=\pi(q_0)$ とする。$\mathrm{Spin}(n)$ の中で $1$ から $-1$ への道 $a(t)$ をとり、$P_{SO}$ のループ $\gamma_0(t)=q_0\rho(a(t))$ を考える（$\rho(\pm1)=I$ なので閉じている）。$\pi_1(P_{SO},q_0)$ から $\mathbb{Z}/2$ への準同型 $\varphi$ で $\varphi([\gamma_0])=1$ をみたすもの全体を $\mathcal{S}$ とおく。

1. $M$ がスピン構造をもつための必要十分条件は、$\mathcal{S}\ne\varnothing$ である。
2. スピン構造の同型類の全体と $\mathcal{S}$ の間には全単射があり、群 $\operatorname{Hom}(\pi_1(M,x_0),\mathbb{Z}/2)$ は $\chi\cdot\varphi=\varphi+\chi\circ\pi_*$ により $\mathcal{S}$ に単純推移的に作用する。

証明の方針は、$P_{SO}$ の 2 重被覆を作る問題を、基本群の準同型 $\varphi$ に言い換えることです。(a) スピン構造から $\varphi$ を作り、(b) $\varphi$ が同型類を決めること、(c) 逆に $\varphi$ からスピン構造を作れること、(d) $\varphi$ の選び方が $\operatorname{Hom}(\pi_1(M),\mathbb{Z}/2)$ だけあることの順に示します。

証明（定理 6.2）

準備。 $\mathrm{Spin}(n)$ は単連結なので（命題 8.7［行列 Lie 群と指数写像］）、$1$ から $-1$ への 2 本の道は端点を固定してホモトピックで、$[\gamma_0]$ は $a$ の選び方によりません。$\rho$ は被覆写像（定理 8.6［行列 Lie 群と指数写像］）で、微分が同型（補題 6.7 の証明で注意した）なので局所微分同相です。$P_{SO}$ は連結です。実際 $q\in P_{SO}$ に対し、$M$ の中で $\pi(q)$ から $x_0$ への道を取ってファイバー束の道の持ち上げ（命題 3.6［ホモトピー群とファイブレーション］ の $k=0$ の場合。主束の局所自明化はファイバー束の局所自明化）で $q$ から $\pi^{-1}(x_0)=q_0SO(n)$ の点への道を作れば、$SO(n)=\rho(\mathrm{Spin}(n))$ は連結なので $q_0$ につながります。$P_{SO}$ は多様体なので局所道連結で、座標球（凸集合なので単連結。系 2.7［基本群と被覆空間］）からなる開基をもつので半局所単連結です。したがって $P_{SO}$ には被覆空間の理論（持ち上げ定理と Galois 対応）がそのまま使えます。

(a) スピン構造から $\varphi$ を作る。 $(P,\xi)$ をスピン構造とします。$x\in M$ の単連結な座標球 $U$ 上の正規直交枠 $E$ と、その持ち上げ $q$（6.1 節の冒頭）を取ると、$\Psi(y,B)=E(y)B$ と $\tilde\Psi(y,a)=q(y)a$ はそれぞれ $U\times SO(n)$、$U\times\mathrm{Spin}(n)$ から $U$ 上の部分への微分同相（局所切断による局所自明化）で、$\xi\circ\tilde\Psi=\Psi\circ(\mathrm{id}\times\rho)$ です。$\mathrm{id}\times\rho$ は 2 枚の被覆写像かつ局所微分同相なので、$\xi$ も 2 枚の被覆写像で局所微分同相です。$\tau(p)=p(-1)$ は $\xi\circ\tau=\xi$ をみたし、作用が自由なので固定点をもたず、$\tau^2=\mathrm{id}$ です。$\xi(\tilde q_0)=q_0$ なる $\tilde q_0$ を 1 つ固定すると $\xi^{-1}(q_0)=\lbrace\tilde q_0,\tau\tilde q_0\rbrace$ です（$\xi(\tilde q_0a)=q_0$ は $\rho(a)=I$、すなわち $a=\pm1$ と同値）。$t\mapsto\tilde q_0a(t)$ は $\gamma_0$ の持ち上げで $\tilde q_0$ から $\tau\tilde q_0$ に至ります。$P$ の任意の点 $p$ は、$\xi(p)$ から $q_0$ への道を $p$ から持ち上げる（定理 3.6［基本群と被覆空間］）と $\tilde q_0$ か $\tau\tilde q_0$ につながるので、$P$ は連結です。

ループ $\gamma$ の $\tilde q_0$ 始点の持ち上げが閉じれば $\varphi_\xi([\gamma])=0$、閉じなければ（終点は $\tau\tilde q_0$）$1$ と定めます。系 3.7［基本群と被覆空間］ からこれは類だけで決まります。$\tau$ を持ち上げに合成すると $\tau\tilde q_0$ 始点の持ち上げが得られる（持ち上げの一意性 補題 3.5［基本群と被覆空間］）ので、$\gamma\cdot\delta$ の持ち上げの終点は $\tau^{\varphi_\xi[\gamma]+\varphi_\xi[\delta]}\tilde q_0$ で、$\varphi_\xi$ は準同型です。上の $\gamma_0$ の持ち上げから $\varphi_\xi([\gamma_0])=1$、すなわち $\varphi_\xi\in\mathcal{S}$ です。$\tilde q_0$ を $\tau\tilde q_0$ に替えても持ち上げが $\tau$ で移るだけなので $\varphi_\xi$ は変わらず、同型 $f$ は持ち上げを持ち上げに写すので、$\varphi_\xi$ はスピン構造の同型類だけで決まります。また 命題 3.8［基本群と被覆空間］ から $\ker\varphi_\xi=\xi_*\pi_1(P,\tilde q_0)$ です。これで 1 の必要性と、同型類から $\mathcal{S}$ への写像 $[(P,\xi)]\mapsto\varphi_\xi$ が得られました。

(b) 単射性。 $\varphi_\xi=\varphi_{\xi'}$ なら $\xi_*\pi_1(P)=\xi'_*\pi_1(P')$ で、定理 7.4［基本群と被覆空間］ の 2 から同相 $f\colon P\to P'$ で $\xi'f=\xi$、$f(\tilde q_0)=\tilde q_0'$ なるものがあります。$P\times\mathrm{Spin}(n)$ から $P'$ への 2 つの写像 $(p,a)\mapsto f(pa)$ と $(p,a)\mapsto f(p)a$ は、どちらも $(p,a)\mapsto\xi(p)\rho(a)$ の $\xi'$ に沿う持ち上げで、$(\tilde q_0,1)$ で一致します。$P\times\mathrm{Spin}(n)$ は連結なので 補題 3.5［基本群と被覆空間］ から一致し、$f$ は作用と可換です。$f$ は局所的に $(\xi'|_{V'})^{-1}\circ\xi|_V$（$V,V'$ は層）と書けるので微分同相で、2 つのスピン構造は同型です。

(c) 全射性（1 の十分性）。 $\varphi\in\mathcal{S}$ とし、$H=\ker\varphi$ とおきます。$\varphi$ は全射なので $H$ は指数 $2$ の正規部分群です。定理 7.4［基本群と被覆空間］ の 1 と 3 から、道連結な被覆 $\xi\colon(\tilde P,\tilde q_0)\to(P_{SO},q_0)$ で $\xi_*\pi_1(\tilde P)=H$ となるものがあり、被覆変換群は $\pi_1(P_{SO})/H\cong\mathbb{Z}/2$ で各ファイバーに推移的に働きます。その非自明な元 $\tau$ は固定点をもたない（補題 3.5［基本群と被覆空間］）ので、各ファイバーはちょうど 2 点 $\lbrace p,\tau p\rbrace$ です。$P_{SO}$ の座標近傍を層 $V$ に $(\xi|_V)^{-1}$ で移したものを座標近傍とすると、座標変換は $P_{SO}$ の座標変換そのものなので、$\tilde P$ は $\xi$ が局所微分同相になる多様体です。

作用。 $F\colon\tilde P\times\mathrm{Spin}(n)\to P_{SO}$、$F(p,a)=\xi(p)\rho(a)$ を考えます。命題 2.11［基本群と被覆空間］ と $\pi_1(\mathrm{Spin}(n))=1$ から、$\pi_1(\tilde P\times\mathrm{Spin}(n),(\tilde q_0,1))$ の元は $(\alpha,1)$ の形のループで代表され、$F\circ(\alpha,1)=\xi\circ\alpha$ なので $F_*\pi_1\subset\xi_*\pi_1(\tilde P)$ です。持ち上げ定理（定理 5.1［基本群と被覆空間］）から、$\xi\circ m=F$、$m(\tilde q_0,1)=\tilde q_0$ なる連続写像 $m$ があり、局所的に $m=(\xi|_V)^{-1}\circ F$ なので滑らかです。$pa:=m(p,a)$ と書きます。$p\mapsto p1$ と $\mathrm{id}$ はどちらも $\xi$ の $\xi$ に沿う持ち上げで $\tilde q_0$ で一致し、$(p,a,b)\mapsto(pa)b$ と $(p,a,b)\mapsto p(ab)$ はどちらも $(p,a,b)\mapsto\xi(p)\rho(a)\rho(b)$ の持ち上げで $(\tilde q_0,1,1)$ で一致するので、連結な定義域での一意性から $p1=p$、$(pa)b=p(ab)$ です。よって $m$ は右作用で、$\xi(pa)=\xi(p)\rho(a)$ をみたします。

$-1$ の作用は $\tau$。 $p\mapsto p(-1)$ は $\xi$ を保つ同相（自分自身が逆）なので被覆変換です。$t\mapsto\tilde q_0a(t)$ は $\gamma_0$ の $\tilde q_0$ 始点の持ち上げで、$\varphi([\gamma_0])=1$ より $[\gamma_0]\notin H=\xi_*\pi_1(\tilde P)$ なので、命題 3.8［基本群と被覆空間］ から閉じません。したがって $\tilde q_0(-1)\ne\tilde q_0$ で、$p\mapsto p(-1)$ は $\mathrm{id}$ でない被覆変換、すなわち $\tau$ です。

主束であること。 $\tilde\pi=\pi\circ\xi$ とし、$U$ を単連結な座標球、$E$ をその上の正規直交枠とします。持ち上げ定理から $\xi\circ s=E$ なる $s\colon U\to\tilde P$ があり、$\Phi(y,a)=s(y)a$ と定めます。$\xi\circ\Phi=\Psi\circ(\mathrm{id}\times\rho)$（$\Psi(y,B)=E(y)B$）です。$\tilde\pi(p)=y$ なら $\xi(p)=E(y)B$ となる $B\in SO(n)$ があり、$\rho(a)=B$ なる $a$ をとると $\xi(\Phi(y,a))=\xi(p)$ なので $p\in\lbrace\Phi(y,a),\tau\Phi(y,a)\rbrace=\lbrace\Phi(y,a),\Phi(y,-a)\rbrace$ で、$\Phi$ は全射です。$\Phi(y,a)=\Phi(y,b)$ なら $\rho(a)=\rho(b)$ から $b=\pm a$ で、$b=-a$ なら $\Phi(y,b)=\tau\Phi(y,a)\ne\Phi(y,a)$ なので $b=a$、$\Phi$ は単射です。$\xi$、$\Psi$、$\mathrm{id}\times\rho$ が局所微分同相なので $\Phi$ も局所微分同相で、全単射なので微分同相です。$\Phi(y,ab)=\Phi(y,a)b$ なので、$\Phi^{-1}$ は 定義 3.1［ファイバー束・主束と接続］ の局所自明化で、$\tilde P\to M$ は主 $\mathrm{Spin}(n)$ 束、$(\tilde P,\xi)$ はスピン構造です。構成から $\ker\varphi_\xi=\xi_*\pi_1(\tilde P)=H=\ker\varphi$ で、$\mathbb{Z}/2$ への準同型は核で決まるので $\varphi_\xi=\varphi$ です。

(d) $\operatorname{Hom}(\pi_1(M),\mathbb{Z}/2)$ の作用。 $\iota\colon SO(n)\to P_{SO}$、$\iota(B)=q_0B$ をファイバーの包含とします。$SO(n)$ の $I$ を基点とするループ $\beta$ を $\mathrm{Spin}(n)$ に $1$ から持ち上げた $\tilde\beta$ の終点は $\pm1$ です。$+1$ なら $\tilde\beta$ は単連結な $\mathrm{Spin}(n)$ のループなので $\beta=\rho\tilde\beta$ は自明、$-1$ なら $\tilde\beta$ と $a$ は端点を固定してホモトピックなので $\iota\beta\simeq\gamma_0$ です。よって $\iota_*\pi_1(SO(n))=\lbrace1,[\gamma_0]\rbrace$ です。$\pi$ はファイバー $SO(n)$ のファイバー束なので Serre ファイブレーションで（命題 3.6［ホモトピー群とファイブレーション］）、定理 3.7［ホモトピー群とファイブレーション］ の完全列 $\pi_1(SO(n))\xrightarrow{\iota_*}\pi_1(P_{SO})\xrightarrow{\pi_*}\pi_1(M)\to\pi_0(SO(n))$ と $SO(n)$ の連結性から、$\pi_*$ は全射で $\ker\pi_*=\lbrace1,[\gamma_0]\rbrace$ です。

$\varphi,\varphi'\in\mathcal{S}$ なら $\varphi-\varphi'$ は $[\gamma_0]$ で $0$ なので $\ker\pi_*$ 上で $0$ で、準同型定理（定理 7.1［群の準同型定理］）と $\pi_*$ の全射性から $\varphi-\varphi'=\chi\circ\pi_*$ となる $\chi\in\operatorname{Hom}(\pi_1(M),\mathbb{Z}/2)$ がただ一つあります。逆に $\varphi\in\mathcal{S}$ と任意の $\chi$ について、$\pi\circ\gamma_0$ は定値ループなので $(\varphi+\chi\pi_*)([\gamma_0])=1$ で、$\varphi+\chi\pi_*\in\mathcal{S}$ です。よって作用は単純推移的です。(a)〜(c) と合わせて 2 が示されました。

∎

注意 6.3（Stiefel–Whitney 類による言い換えと例）

古典的には、定理 6.2 の 1 の条件は接束の第 2 Stiefel–Whitney 類 $w_2(TM)\in H^2(M;\mathbb{Z}/2)$ が $0$ であることと同値で、2 の $\operatorname{Hom}(\pi_1(M),\mathbb{Z}/2)$ は $H^1(M;\mathbb{Z}/2)$ と同型です（後者は $\pi_1$ の可換化が $H_1$ に等しいという Poincaré の定理と普遍係数定理 定理 3.4［コホモロジーと双対性］ から）。Stiefel–Whitney 類と $\pi_1$ の可換化の定理は Rikai ではまだ扱っていないので、ここでは言い換えの紹介にとどめます（Lawson–Michelsohn『Spin Geometry』第 II 章 §1、Milnor–Stasheff『Characteristic Classes』§12）。定理 6.2 の形のままでも例は計算できます。$M$ が単連結で $\pi_2(M)=0$ なら、ファイブレーションの完全列 $\pi_2(M)\to\pi_1(SO(n))\to\pi_1(P_{SO})\to\pi_1(M)$ から $\pi_1(P_{SO})=\lbrace1,[\gamma_0]\rbrace\cong\mathbb{Z}/2$ で、$\mathcal{S}$ はただ 1 つの元からなり、スピン構造はちょうど 1 つです。$n\ge3$ の球面 $S^n$ は 命題 2.6［ホモトピー群とファイブレーション］ からこの場合にあたります。次の例のように、大域的な正規直交枠をもつ多様体は直接スピンだとわかります。

例 6.4（大域的な枠をもつ多様体）

$M$ 上に大域的な正の向きの正規直交枠 $E$ があれば、$P_{\mathrm{Spin}}=M\times\mathrm{Spin}(n)$（右乗法で作用）、$\xi(x,a)=E(x)\rho(a)$ はスピン構造です。$\xi((x,a)b)=E(x)\rho(ab)=\xi(x,a)\rho(b)$ です。平坦トーラス $T^n=\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n$ では座標枠 $\partial_1,\dots,\partial_n$ がこれにあたります。（$T^n$ には、各座標方向の一周で $\pm1$ をひねる $2^n$ 個のスピン構造があり、これがスピン構造の分類 $H^1(T^n;\mathbb{Z}/2)\cong(\mathbb{Z}/2)^n$ の例です。）

6.2. スピノル加群とスピノル束

定義 6.5（スピノル加群）↗

$n\ge2$ とする。有限次元 Hermite 空間 $\Delta$、線形写像 $\gamma\colon\mathbb{R}^n\to\operatorname{End}(\Delta)$、連続な準同型 $\sigma\colon\mathrm{Spin}(n)\to U(\Delta)$ の組で、次をみたすものをスピノル加群という。

1. $\gamma(v)^2=-|v|^2$、$\gamma(v)^*=-\gamma(v)$（$v\in\mathbb{R}^n$）。
2. $\sigma(a)\gamma(x)\sigma(a)^{-1}=\gamma(\rho(a)x)$（$a\in\mathrm{Spin}(n)$、$x\in\mathbb{R}^n$）。
3. $i\neq j$ と $\theta\in\mathbb{R}$ について $\sigma(\cos\theta+\sin\theta\,c_ic_j)=\cos\theta+\sin\theta\,\gamma_i\gamma_j$（$\gamma_i=\gamma(e_i)$）。

条件 3 の左辺の $\cos\theta+\sin\theta\,c_ic_j=e^{\theta c_ic_j}$ が $\mathrm{Spin}(n)$ に入ることは 定理 8.6［行列 Lie 群と指数写像］ の証明で示されています。条件 1 から $\gamma_i\gamma_j=-\gamma_j\gamma_i$（$i\ne j$）で、$(\gamma_i\gamma_j)^2=-1$ なので右辺は $e^{\theta\gamma_i\gamma_j}$ です。

例 6.6（スピノル加群の例）

1. $\Delta=\Lambda\otimes\mathbb{C}$（$\Lambda$ の内積を Hermite 内積に延ばす）、$\gamma=c$、$\sigma(a)=a$（$\mathrm{Spin}(n)\subset\operatorname{End}(\Lambda)$ の元をそのまま作用させる）。$c(u)$（$|u|=1$）は直交変換なので $\sigma(a)$ はユニタリで、条件 1 は 補題 8.3［行列 Lie 群と指数写像］、条件 2 は $\rho$ の定義、条件 3 は自明です。$\dim\Delta=2^n$ です。
2. $n=2$、$\Delta=\mathbb{C}^2$、

$$\gamma(e_1)=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\qquad\gamma(e_2)=\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}.$$

$x=(x_1,x_2)$、$\zeta=x_1+ix_2$ とおくと $\gamma(x)=\begin{pmatrix}0&-\bar\zeta\\\zeta&0\end{pmatrix}$ で、$\gamma(x)^2=-|\zeta|^2$、$\gamma(x)^*=-\gamma(x)$ です。$\mathrm{Spin}(2)$ の元は単位ベクトル 2 個の積 $c(u)c(v)=-\langle u,v\rangle+(u_1v_2-u_2v_1)c_1c_2$ の積なので、すべて $\cos\theta+\sin\theta\,c_1c_2$（$\theta$ は $2\pi$ を法として一意）の形をしています。そこで $\sigma(\cos\theta+\sin\theta\,c_1c_2)=\cos\theta+\sin\theta\,\gamma_1\gamma_2=\operatorname{diag}(e^{-i\theta},e^{i\theta})$ と定めると、どちらも $e^{\theta J}$（$J^2=-1$）の形なので準同型です。条件 2: Clifford 関係から $c_1c_2c_1=c_2$、$c_1c_2c_2=-c_1$ を使って $a=\cos\theta+\sin\theta\,c_1c_2$ について $ac_1a^{-1}=\cos2\theta\,c_1+\sin2\theta\,c_2$ と計算でき、$\rho(a)$ は角 $2\theta$ の回転です。一方 $\sigma(a)\gamma(x)\sigma(a)^{-1}$ は成分 $\zeta$ を $e^{2i\theta}\zeta$ に替えたもので、$\gamma(\rho(a)x)$ に等しくなります。$\dim\Delta=2$ で、これが 2 次元の（既約な）スピノル加群です。

スピン構造 $(P_{\mathrm{Spin}},\xi)$ とスピノル加群 $(\Delta,\gamma,\sigma)$ から、同伴束（例 3.2［ファイバー束・主束と接続］ 2）

$$S=P_{\mathrm{Spin}}\times_\sigma\Delta$$

を作り、スピノル束と呼びます。持ち上げ $q$ に関する切断 $\psi$ の成分を $\psi_q\colon U\to\Delta$（$\psi=[q,\psi_q]$）と書くと、別の持ち上げ $q'=q\tilde A$（$\xi(q')=EA$、$A=\rho\circ\tilde A$）については $\psi_q=\sigma(\tilde A)\psi_{q'}$ です。$S$ には $\Delta$ の内積から Hermite 計量が入ります（$\sigma$ がユニタリなので持ち上げによらない）。Clifford 積を、$\xi(q)=E$ のとき

$$c\Bigl(\sum_ix^iE_i\Bigr)[q,\psi]=[q,\gamma(x)\psi]$$

で定めます。持ち上げを $q\tilde A$ に替えると、同じ接ベクトルの座標は $x'=A^{-1}x$ で、条件 2 から $[q\tilde A,\gamma(x')\psi']=[q,\sigma(\tilde A)\gamma(A^{-1}x)\psi']=[q,\gamma(x)\sigma(\tilde A)\psi']$ となり、well-defined です。

6.3. スピン接続とその曲率

$B\in\mathfrak{so}(n)$（成分 $B_{ij}$）に対し

$$\mu(B)=-\frac14\sum_{i,j}B_{ij}\gamma_i\gamma_j\in\operatorname{End}(\Delta)$$

とおきます。

補題 6.7（μ の性質）✓

スピノル加群について、$B,C\in\mathfrak{so}(n)$、$x\in\mathbb{R}^n$、$a\in\mathrm{Spin}(n)$ として次が成り立つ。

1. $[\mu(B),\gamma(x)]=\gamma(Bx)$。
2. $\mu([B,C])=[\mu(B),\mu(C)]$。
3. $\sigma(a)\mu(B)\sigma(a)^{-1}=\mu\bigl(\rho(a)B\rho(a)^{-1}\bigr)$。
4. $\tilde A(t)$ が $\mathrm{Spin}(n)$ の滑らかな曲線で $A=\rho\circ\tilde A$ なら、$\sigma(\tilde A)^{-1}\dfrac{d}{dt}\sigma(\tilde A)=\mu\bigl(A^{-1}A'\bigr)$。

証明（補題 6.7）

1。 条件 1 から $\gamma_j\gamma_k=-\gamma_k\gamma_j-2\delta_{jk}$ なので $\gamma_i\gamma_j\gamma_k=\gamma_k\gamma_i\gamma_j+2\delta_{ik}\gamma_j-2\delta_{jk}\gamma_i$、すなわち $[\gamma_i\gamma_j,\gamma_k]=2\delta_{ik}\gamma_j-2\delta_{jk}\gamma_i$ です。$B_{kj}=-B_{jk}$ を使うと

$$[\mu(B),\gamma_k]=-\frac14\sum_{i,j}B_{ij}\bigl(2\delta_{ik}\gamma_j-2\delta_{jk}\gamma_i\bigr)=-\frac12\sum_jB_{kj}\gamma_j+\frac12\sum_iB_{ik}\gamma_i=\sum_iB_{ik}\gamma_i=\gamma(Be_k)$$

で、$x$ について線形なので主張を得ます。

Lie 環での言い換え。 同じ計算を $\gamma$ の代わりに $c$（これもスピノル加群の条件 1 をみたす。補題 8.3［行列 Lie 群と指数写像］）で行うと、$b=-\frac14\sum_{i,j}B_{ij}c_ic_j$ について $[b,c(x)]=c(Bx)$ です。$c_ic_j$（$i\ne j$）は $\mathrm{Spin}(n)$ の Lie 環 $\mathfrak{spin}(n)$ に入るので $b\in\mathfrak{spin}(n)$ で、$e^{tb}c(x)e^{-tb}=c(\rho(e^{tb})x)$ を $t=0$ で微分すると $[b,c(x)]=c(d\rho(b)x)$、$c$ の単射性から $d\rho(b)=B$ です。また条件 3 を $\theta=0$ で微分して $d\sigma(c_ic_j)=\gamma_i\gamma_j$、線形性から $d\sigma(b)=\mu(B)$ です。定理 8.6［行列 Lie 群と指数写像］ の証明により $d\rho\colon\mathfrak{spin}(n)\to\mathfrak{so}(n)$ は同型なので、

$$\mu=d\sigma\circ(d\rho)^{-1}$$

です。

2。 連続準同型の微分は Lie 環の準同型です（定理 5.1［行列 Lie 群と指数写像］）。$d\rho$ は同型な準同型なので逆も準同型で、合成 $\mu$ も準同型です。

3。 $\sigma(ae^{tb}a^{-1})=\sigma(a)e^{td\sigma(b)}\sigma(a)^{-1}$ を微分して $d\sigma(aba^{-1})=\sigma(a)d\sigma(b)\sigma(a)^{-1}$、同様に $d\rho(aba^{-1})=\rho(a)d\rho(b)\rho(a)^{-1}$ です。$b=(d\rho)^{-1}B$ とおけば主張になります。

4。 $\mathrm{Spin}(n)$ は閉部分群なので、その中の滑らかな曲線について $\tilde A^{-1}\tilde A'\in\mathfrak{spin}(n)$ です（定理 4.2［行列 Lie 群と指数写像］）。準同型 $\sigma$ は $\sigma(e^X)=e^{d\sigma(X)}$ をみたす（定理 5.1［行列 Lie 群と指数写像］）ので滑らかで、$\sigma(\tilde A(t+h))=\sigma(\tilde A(t))\,\sigma\bigl(\tilde A(t)^{-1}\tilde A(t+h)\bigr)$ を $h$ で微分すると $\sigma(\tilde A)^{-1}\frac{d}{dt}\sigma(\tilde A)=d\sigma(\tilde A^{-1}\tilde A')$ です。同様に $A^{-1}A'=d\rho(\tilde A^{-1}\tilde A')$ なので、$\mu=d\sigma\circ(d\rho)^{-1}$ から主張が従います。

∎

正規直交枠 $E$ の Levi-Civita 接続形式を $\omega=(\omega^i{}_j)$（$\nabla_XE_j=\sum_i\omega^i{}_j(X)E_i$。定義 6.1［曲率テンソル］）とし、$\omega(X)\in\mathfrak{so}(n)$（定理 6.2［曲率テンソル］ 1）を行列と見ます。$E$ の持ち上げ $q$ について、$S$ の切断 $\psi$ の共変微分を

$$(\nabla_X\psi)_q=X(\psi_q)+\mu\bigl(\omega(X)\bigr)\psi_q=X(\psi_q)+\frac14\sum_{i,j}\langle\nabla_XE_i,E_j\rangle\gamma_i\gamma_j\psi_q$$

で定めます（2 番目の形は $\omega^i{}_j=\langle\nabla E_j,E_i\rangle=-\langle\nabla E_i,E_j\rangle$ から）。

命題 6.8（スピン接続）✓

上の式は持ち上げの取り方によらない接続 $\nabla$（スピン接続）を $S$ に定める。$\nabla$ は Hermite 計量と両立し、$\nabla_X(c(Y)\psi)=c(\nabla_XY)\psi+c(Y)\nabla_X\psi$ をみたす。とくに $S$ は 定義 5.2 の意味の Clifford 加群である。その Dirac 型作用素 $D=\sum_ic(E_i)\nabla_{E_i}$ を Dirac 作用素という。

証明（命題 6.8）

持ち上げによらないこと。 別の枠 $E'=EA$ とその持ち上げ $q'=q\tilde A$ を取ります（$U\cap U'$ 上、$A=\rho\circ\tilde A$）。$\nabla E'_j=\nabla(\sum_kE_kA_{kj})=\sum_{i,k}E_i\omega^i{}_kA_{kj}+\sum_kE_k\,dA_{kj}$ を $E'=EA$ で書き直すと、接続形式は $\omega'=A^{-1}\omega A+A^{-1}dA$ です。$\psi_q=\sigma(\tilde A)\psi_{q'}$ を代入し、補題 6.7 の 4（$X$ の積分曲線に沿って）と 3（$a=\tilde A^{-1}$）を使うと

$$\begin{aligned} X(\psi_q)+\mu(\omega(X))\psi_q&=\sigma(\tilde A)\Bigl[X(\psi_{q'})+\sigma(\tilde A)^{-1}X\bigl(\sigma(\tilde A)\bigr)\psi_{q'}+\sigma(\tilde A)^{-1}\mu(\omega(X))\sigma(\tilde A)\psi_{q'}\Bigr]\\ &=\sigma(\tilde A)\Bigl[X(\psi_{q'})+\mu\bigl(A^{-1}X(A)\bigr)\psi_{q'}+\mu\bigl(A^{-1}\omega(X)A\bigr)\psi_{q'}\Bigr]=\sigma(\tilde A)\bigl[X(\psi_{q'})+\mu(\omega'(X))\psi_{q'}\bigr] \end{aligned}$$

で、二つの定義は同じ切断を与えます。Leibniz 則 $\nabla_X(f\psi)=(Xf)\psi+f\nabla_X\psi$ と $X$ についての $C^\infty$ 線形性は式から明らかです。

計量との両立。 $i\ne j$ なら $(\gamma_i\gamma_j)^*=\gamma_j^*\gamma_i^*=\gamma_j\gamma_i=-\gamma_i\gamma_j$ で、$\omega^i{}_i=0$ なので $\mu(\omega(X))$ は反 Hermite です。よって $X\langle\psi_q,\varphi_q\rangle=\langle(\nabla_X\psi)_q,\varphi_q\rangle+\langle\psi_q,(\nabla_X\varphi)_q\rangle$ です。

Clifford 積との両立。 $Y=\sum_ky^kE_k$ とすると $(c(Y)\psi)_q=\gamma(y)\psi_q$ で、補題 6.7 の 1 から

$$X(\gamma(y)\psi_q)+\mu(\omega(X))\gamma(y)\psi_q=\gamma\bigl(X(y)+\omega(X)y\bigr)\psi_q+\gamma(y)\bigl(X(\psi_q)+\mu(\omega(X))\psi_q\bigr)$$

です。$\nabla_XY=\sum_jX(y^j)E_j+\sum_{i,j}y^j\omega^i{}_j(X)E_i$ の座標は $X(y)+\omega(X)y$ なので、右辺は $c(\nabla_XY)\psi+c(Y)\nabla_X\psi$ の成分です。$c(v)^2=-|v|^2$、$c(v)^*=-c(v)$ はスピノル加群の条件 1 そのものです。

∎

命題 6.9（スピン接続の曲率）✓

スピン接続の曲率 $F(X,Y)=\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X-\nabla_{[X,Y]}$ は

$$F(X,Y)=\frac14\sum_{k,l}R(X,Y,E_k,E_l)\,c(E_k)c(E_l)$$

である（$R(X,Y,Z,W)=\langle R(X,Y)Z,W\rangle$、$E$ は任意の局所正規直交枠）。

証明（命題 6.9）

持ち上げ $q$ に関する成分で $\nabla_X=X+\Omega(X)$、$\Omega=\mu\circ\omega$ と書けます。直接展開すると

$$\nabla_X\nabla_Y\psi_q=XY\psi_q+X(\Omega(Y))\psi_q+\Omega(Y)X\psi_q+\Omega(X)Y\psi_q+\Omega(X)\Omega(Y)\psi_q$$

で、$X,Y$ を入れ替えて引き、$\nabla_{[X,Y]}\psi_q=[X,Y]\psi_q+\Omega([X,Y])\psi_q$ を引くと

$$F(X,Y)=X\Omega(Y)-Y\Omega(X)-\Omega([X,Y])+[\Omega(X),\Omega(Y)]$$

です。$\mu$ は線形で、補題 6.7 の 2 から Lie 環の準同型なので、

$$F(X,Y)=\mu\bigl(d\omega(X,Y)+[\omega(X),\omega(Y)]\bigr)=\mu\bigl((d\omega+\omega\wedge\omega)(X,Y)\bigr)=\mu\bigl(\Omega^R(X,Y)\bigr)$$

です。ここで 2 形式の規約 $(\alpha\wedge\beta)(X,Y)=\alpha(X)\beta(Y)-\alpha(Y)\beta(X)$ と第 2 構造方程式（定理 6.2［曲率テンソル］ 3）を使い、$\Omega^R$ は Riemann 曲率の曲率形式 $\Omega^{R\,i}{}_j(X,Y)=\langle R(X,Y)E_j,E_i\rangle=R(X,Y,E_j,E_i)$ です。最後に $R(X,Y,E_j,E_i)=-R(X,Y,E_i,E_j)$（命題 3.1［曲率テンソル］ 2）から

$$\mu(\Omega^R(X,Y))=-\frac14\sum_{i,j}R(X,Y,E_j,E_i)\gamma_i\gamma_j=\frac14\sum_{i,j}R(X,Y,E_i,E_j)\gamma_i\gamma_j$$

で、$\gamma_i$ は成分での $c(E_i)$ の作用です。

∎

系 6.10（スピノル束の Lichnerowicz 公式）✓

スピン多様体 $M$ のスピノル束 $S$ の Dirac 作用素は $D^2=\nabla^*\nabla+\dfrac s4$ をみたす。とくに $M$ がコンパクトで $s\gt0$ なら、$D\psi=0$ となる切断（調和スピノル）は $0$ だけである。

証明（系 6.10）

命題 6.8 により $S$ は Clifford 加群で、命題 6.9 によりその曲率は 定理 5.5 の仮定の形をしています。よって 定理 5.5 がそのまま適用できます。

∎

例 6.11（平坦トーラスの Dirac 作用素）

例 6.4 の $T^n$ で座標枠を持ち上げると $\omega=0$ なので、スピン接続は成分の普通の微分で、$D=\sum_i\gamma_i\partial_i$ です。$\gamma_i\gamma_j+\gamma_j\gamma_i=-2\delta_{ij}$ から $D^2=-\sum_i\partial_i^2=\nabla^*\nabla$ で、$s=0$ の Lichnerowicz 公式と一致します。$\psi=e^{2\pi i\langle k,x\rangle}\psi_0$（$k\in\mathbb{Z}^n$、$\psi_0\in\Delta$）は $D^2\psi=4\pi^2|k|^2\psi$ をみたし、調和スピノルは定数の $\psi$ です。$s=0$ なので 系 6.10 の消滅は起きません。

7. 熱核とその局所展開

関数の Laplacian $\Delta$ について、熱方程式 $\partial_tu+\Delta u=0$ の基本解を考えます。

定義 7.1（熱核）↗

$K\colon(0,\infty)\times M\times M\to\mathbb{R}$ が滑らかで、$(\partial_t+\Delta_x)K_t(x,y)=0$ を満たし、各連続関数 $f$ について $t\to0$ で $\int_MK_t(x,y)f(y)\,\mathrm{vol}(y)\to f(x)$（$x$ について一様）となるとき、$K$ を $M$ の熱核という。

命題 7.2（熱核の一意性）✓

$M$ がコンパクトなら熱核は（存在すれば）一意である。

証明（命題 7.2）

$u$ が $(0,T)\times M$ で滑らか、$[0,T)\times M$ で連続、$\partial_tu+\Delta u=0$、$u(0,\cdot)=0$ とします。$E(t)=\int_Mu^2\,\mathrm{vol}$ は $[0,T)$ で連続、$t>0$ で $E'(t)=-2(u,\Delta u)=-2\|du\|^2\le0$（命題 3.4）なので、$E(t)\le E(0)=0$、$u\equiv0$ です。熱核 $K,K'$ に対し、$u(t,x)=\int(K_t-K'_t)(x,y)f(y)\mathrm{vol}(y)$（$u(0)=0$ と延長）はこの条件を満たすので $0$ で、すべての連続な $f$ について成り立つことから $K=K'$ です。

∎

例 7.3（平坦トーラスの熱核（鏡像法））

$\mathbb{R}^n$ の Gauss 核 $p_t(x)=(4\pi t)^{-n/2}e^{-|x|^2/4t}$ は $\partial_tp_t=\sum_i\partial_i^2p_t$ を満たし（直接微分して確かめられる）、$\int_{\mathbb{R}^n}p_t=1$ である（Gauss 積分 定理 3.3［広義積分・パラメータ積分とガンマ関数］）。平坦トーラス $T^n=\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n$ では

$$K_t(x,y)=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}p_t(x-y+k)$$

と置く。級数は $t$ が正の区間に留まる限り各階の導関数とともに一様収束し、周期的で、熱方程式を満たす。$\int_{T^n}K_t(x,y)f(y)dy=\int_{\mathbb{R}^n}p_t(x-y)\tilde f(y)dy$（$\tilde f$ は $f$ の周期的な延長）は、$p_t$ の質量が $t\to0$ で原点に集中するので $f(x)$ に一様収束する。命題 7.2 により $K$ が熱核で、対角成分は

$$K_t(x,x)=(4\pi t)^{-n/2}\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}e^{-|k|^2/4t}=(4\pi t)^{-n/2}\bigl(1+O(e^{-1/(4t)})\bigr)\quad(t\to0).$$

平坦な空間では、短時間の熱核は Euclid 空間のものと指数的な精度で一致し、補正は「一周して戻ってくる」測地線（$k\ne0$）からだけ来る。

曲がった空間では、補正は $t$ のべきで現れ、その係数が曲率で書けます。

定理 7.4（熱核の局所展開（Minakshisundaram–Pleijel））✓

$M$ をコンパクトな $n$ 次元 Riemann 多様体とする。熱核 $K_t$ は存在し、$\Delta$ の固有値 $0=\lambda_0\le\lambda_1\le\dots$（重複込み）と L² 正規直交固有関数 $\phi_j$ により $K_t(x,y)=\sum_je^{-t\lambda_j}\phi_j(x)\phi_j(y)$ と展開される。さらに $t\to0$ で

$$K_t(x,x)\sim(4\pi t)^{-n/2}\bigl(a_0(x)+a_1(x)t+a_2(x)t^2+\cdots\bigr),\qquad a_0=1,\quad a_1=\frac{s}{6},$$

で、各 $a_k$ は曲率とその共変微分の普遍的な多項式である。とくに $\sum_je^{-t\lambda_j}\sim(4\pi t)^{-n/2}\bigl(\operatorname{vol}(M)+\tfrac t6\int_Ms\,\mathrm{vol}+O(t^2)\bigr)$。

証明（定理 7.4）

熱核の漸近展開 の一般論を、自明な直線束 $M\times\mathbb{C}$、接続 $\nabla=d$、$F=0$ に使います。このとき Laplace 型作用素 $\nabla^*\nabla+F$ は関数の Laplacian $\Delta$ です（命題 2.3［熱核の漸近展開］ の 1）。$\sim$ は「各 $N$ について、$x$ について一様に $O(t^{N+1})$ の誤差で成り立つ」の意味です。$n=0$ では $M$ は有限集合で、$K_t(x,y)=\delta_{xy}$、固有値はすべて $0$、$a_0=1$、$a_k=0$（$k\ge1$）となり主張は直接成り立つので、以下 $n\ge1$ とします（同記事の 定理 5.2［熱核の漸近展開］ の仮定）。

存在。 定理 4.6［熱核の漸近展開］ により、複素数値の熱核 $K$（定義 4.5［熱核の漸近展開］。条件は 定義 7.1 と同じ）がただ一つ存在します。$\Delta$ は実係数なので $\overline{K}$ も同じ条件をみたし、一意性から $K=\overline K$、すなわち $K$ は実数値で、定義 7.1 の熱核です。

固有関数展開。 定理 5.2［熱核の漸近展開］ の 1、3 により、滑らかな固有関数の正規直交基底 $(\varphi_j)$ と $\Delta\varphi_j=\lambda_j\varphi_j$ があって $K_t(x,y)=\sum_je^{-t\lambda_j}\varphi_j(x)\overline{\varphi_j(y)}$ で、同じ定理の 1 の後半から、$\lambda_j$ は滑らかな関数に対する $\Delta$ の固有値を重複込みですべて並べたものです。$\lambda_j=(\Delta\varphi_j,\varphi_j)=\|d\varphi_j\|^2\ge0$（補題 2.2［熱核の漸近展開］ の 3）で、定数関数から $\lambda_0=0$ です。$\Delta$ は実係数なので、各固有空間 $V_\lambda$（有限次元）は複素共役で閉じ、実部と虚部が $V_\lambda$ を張るので、Gram–Schmidt の直交化で実数値の正規直交基底がとれます。$\sum_{\lambda_j=\lambda}\varphi_j(x)\overline{\varphi_j(y)}$ は $V_\lambda$ への直交射影の核で基底の取り方によらないので、$\varphi_j$ を実数値に取り直して $K_t(x,y)=\sum_je^{-t\lambda_j}\varphi_j(x)\varphi_j(y)$ です。

展開と係数。 定理 6.1［熱核の漸近展開］ から各 $N$ について $K_t(x,x)=(4\pi t)^{-n/2}\bigl(\sum_{k\le N}a_k(x)t^k+O(t^{N+1})\bigr)$（一様）で、命題 6.3［熱核の漸近展開］（$F=0$）から $a_0=1$、$a_1=s/6$、命題 6.4［熱核の漸近展開］ の 2 から各 $a_k$ は曲率とその共変微分の普遍的な多項式です。熱跡の式は 定理 6.1［熱核の漸近展開］ の後半（$N=1$、$\int\operatorname{tr}a_0=\operatorname{vol}(M)$、$\int a_1=\frac16\int s$）です。

∎

注意 7.5

証明の中身は 熱核の漸近展開 にあります。正規座標で $(4\pi t)^{-n/2}e^{-d(x,y)^2/4t}\sum_kt^ku_k(x,y)$ という形の近似解（パラメトリクス）を作り、$u_k$ を測地線に沿った常微分方程式（輸送方程式）で決め、誤差を Duhamel の公式と Volterra 級数で補正します。$a_1=s/6$ は、正規座標での計量の展開 $g_{ij}=\delta_{ij}-\tfrac13\sum_{k,l}R_{iklj}x^kx^l+O(|x|^3)$（$R_{iklj}=\langle R(\partial_i,\partial_k)\partial_l,\partial_j\rangle$。断面曲率 $K$ の空間では $g(v,v)=|v|^2-\tfrac13K\,|v\wedge x|^2+\cdots$）から出てきます（文献 [Rosenberg, Chapter 3]、[Berline–Getzler–Vergne, Chapter 2]）。

例 7.6（球面での確認）

単位球面 $S^2$ では $\Delta$ の固有値は $l(l+1)$、重複度 $2l+1$（$l=0,1,2,\dots$）である（球面調和関数と Legendre 関数）。$\operatorname{vol}=4\pi$、$s=2$ なので 定理 7.4 は

$$\sum_{l=0}^\infty(2l+1)e^{-tl(l+1)}=\frac1{4\pi t}\Bigl(4\pi+\frac t6\cdot8\pi+O(t^2)\Bigr)=\frac1t+\frac13+O(t)$$

を予言する。数値で確かめると、残差は $t^2$ に比例して小さくなり、次の係数 $1/15$ も読み取れる。

import numpy as np

l = np.arange(0, 20000)
for t in [0.1, 0.05, 0.02, 0.01]:
    Z = np.sum((2 * l + 1) * np.exp(-t * l * (l + 1)))
    print(t, Z, Z - (1 / t + 1 / 3 + t / 15))

出力の残差は $t=0.1$ で約 $1.3\times10^{-4}$、$t=0.01$ で約 $1.3\times10^{-6}$ で、$t^2$ に比例する。定数項 $1/3$ は、平坦トーラスには無い「曲率の寄与」そのものである。

$\Delta$ を微分形式に広げても同じ展開が成り立ちます。McKean–Singer の公式（命題 3.5［指数定理］）により $\chi(M)=\sum_k(-1)^k\operatorname{Tr}e^{-t\Delta_k}$ は $t$ によらないので、$t\to0$ の展開の定数項が Euler 標数を与えます。2 次元では、関数と 2 形式の $a_1=s/6$ と、1 形式の $a_1$（Bochner の公式の曲率項から $2\cdot\tfrac s6-s$ になる）を交代和すると $\frac1{4\pi}\int_Ms\,\mathrm{vol}=\frac1{2\pi}\int_MK\,\mathrm{vol}$ となり、Gauss–Bonnet の定理が熱核から出てきます（1 形式の係数は、Bochner の公式で $\Delta$ が Laplace 型作用素になることと、熱核の漸近展開 の 命題 6.3［熱核の漸近展開］ から出ます。計算は同記事の演習にあります）。

8. 演習

演習 8.1易

$\mathbb{R}^3$（Euclid 計量、標準の向き）で、1 形式 $\omega=a\,dx+b\,dy+c\,dz$ に対し $\star d\omega$ と $\delta\omega$ を計算し、それぞれ回転 $\operatorname{rot}(a,b,c)$、発散の $-1$ 倍に対応することを確かめよ。

解答

$d\omega=(b_x-a_y)dx\wedge dy+(c_y-b_z)dy\wedge dz+(a_z-c_x)dz\wedge dx$ で、$\star(dy\wedge dz)=dx$ など（命題 2.2 1、$(2,3,1)$ は偶置換）から $\star d\omega=(c_y-b_z)dx+(a_z-c_x)dy+(b_x-a_y)dz$、これは $\operatorname{rot}$ の成分です。$n=3$、$k=1$ で $\delta=(-1)^{3\cdot2+1}\star d\star=-\star d\star$。$\star\omega=a\,dy\wedge dz+b\,dz\wedge dx+c\,dx\wedge dy$、$d\star\omega=(a_x+b_y+c_z)dx\wedge dy\wedge dz$、$\star$ で $a_x+b_y+c_z$ なので $\delta\omega=-\operatorname{div}(a,b,c)$ で、命題 3.3 と一致します。

演習 8.2標準

系 5.4 を使って、$n\ge2$ のとき単位球面 $S^n$ と実射影空間 $\mathbb{RP}^n$（標準計量）の第 1 Betti 数が $0$ であることを示せ。また、平坦トーラス $T^2$ と曲面 $S^2$ の積 $T^2\times S^2$ について、Bochner の方法から得られる $b_1$ の評価を述べよ。

解答

$S^n$ の断面曲率は $1$ で $\operatorname{Ric}=(n-1)g$（例 2.3［曲率テンソル］）、$n\ge2$ で正です。$\mathbb{RP}^n$ は $S^n$ を対蹠写像（等長）で割ったもので、局所等長なので同じ Ricci 曲率を持ちます。$n$ が奇数なら向き付け可能で、系 5.4 2 から $b_1=0$ です。$n$ が偶数のときは $\mathbb{RP}^n$ が向き付け不可能で本記事の Hodge 理論はそのままでは使えませんが、被覆写像 $\pi\colon S^n\to\mathbb{RP}^n$ による引き戻し $\pi^*\colon H^1_{\mathrm{dR}}(\mathbb{RP}^n)\to H^1_{\mathrm{dR}}(S^n)=0$ は単射なので、同じく $b_1=0$ です。実際、閉 1 形式 $\omega$ について $\pi^*\omega=df$ なら、対蹠写像 $\sigma$ が $\sigma^*\pi^*\omega=\pi^*\omega$ を満たすので $d(f\circ\sigma)=df$、よって $f\circ\sigma=f+c$（$c$ は定数）です。$\sigma^2=\mathrm{id}$ から $f=f+2c$、すなわち $c=0$ なので、$f$ は $\mathbb{RP}^n$ 上の関数 $h$ の引き戻しで、$\omega=dh$ です。$T^2\times S^2$ では $\operatorname{Ric}=0\oplus g_{S^2}\ge0$ なので、調和 1 形式は平行で $b_1\le4$。実際には平行な 1 形式は $T^2$ 方向の $dx,dy$ だけ（$S^2$ には零点のない平行なベクトル場がない）なので $b_1=2$ です。

演習 8.3標準

長さ $L$ の円周 $\mathbb{R}/L\mathbb{Z}$ で、例 7.3 と同じ鏡像法で熱核を書き、熱跡 $\int_0^LK_t(x,x)dx$ が $t\to0$ で $L/\sqrt{4\pi t}+O(e^{-L^2/(4t)}/\sqrt t)$ となることを示せ。固有値 $(2\pi k/L)^2$ を使った $\sum_ke^{-t(2\pi k/L)^2}$ と比べ、定理 7.4 の $a_1=s/6=0$ と整合することを確かめよ。

解答

$K_t(x,y)=\sum_kp_t(x-y+kL)$（1 次元の Gauss 核）で、$K_t(x,x)=(4\pi t)^{-1/2}\sum_ke^{-k^2L^2/4t}$。積分して $\frac{L}{\sqrt{4\pi t}}\bigl(1+2\sum_{k\ge1}e^{-k^2L^2/4t}\bigr)$ で、括弧内の補正は $k=1$ の項が支配し $O(e^{-L^2/4t})$ です。べき $t^{1/2}$ の項（$a_1$ に対応）は現れず、$s=0$ と整合します。固有関数 $L^{-1/2}e^{2\pi ikx/L}$ による展開 $\sum_ke^{-t(2\pi k/L)^2}$ は、命題 7.2 により同じ熱核の跡なので、二つの表示は等しくなります（これは Jacobi のテータ関数の変換公式です）。

参考文献

• F. W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer (GTM 94), 1983 — Chapter 6（Hodge の定理の完全な証明）。
• S. Rosenberg, The Laplacian on a Riemannian Manifold, Cambridge University Press, 1997 — Chapter 1–3（Hodge 理論、熱核の構成と漸近展開）。
• N. Berline, E. Getzler, M. Vergne, Heat Kernels and Dirac Operators, Springer, 1992 — Chapter 2–3（熱核の漸近展開、Clifford 加群と Lichnerowicz 公式）。
• H. B. Lawson, M.-L. Michelsohn, Spin Geometry, Princeton University Press, 1989 — Chapter II §1–§4・§8（スピン構造、スピノル束とスピン接続、Bochner–Weitzenböck 公式）。
• P. Petersen, Riemannian Geometry, 3rd ed., Springer (GTM 171), 2016 — Chapter 9（Bochner の方法）。
• J. Roe, Elliptic Operators, Topology and Asymptotic Methods, 2nd ed., Longman, 1998 — Chapter 5（Dirac 型作用素の Sobolev 空間、Gårding 不等式、Rellich の定理、正則性）。

Appendix: Dirac 型作用素の楕円型理論

定理 4.2 の証明に使う解析をここにまとめます。Hodge Laplacian は 1 階の Dirac 型作用素 $D=d+\delta$ の 2 乗なので、1 階の $D$ について、弱解の正則性、核の有限次元性、値域の特徴づけを示せば足ります。使う Sobolev 空間は 1 階の $H^1$ だけで、高階の滑らかさは、共変微分した切断にもう一度 1 階の結果を使うことで積み上げます。

設定と記号。 $M$ は向き付けられたコンパクトな $n$ 次元 Riemann 多様体（境界なし）とします。計量束とは、各ファイバーに内積（実または Hermite）をもち、それと両立する接続 $\nabla$ をもつベクトル束のことです。計量束 $E$ について、可測な切断 $u$ で $\|u\|^2=\int_M|u|^2\mathrm{vol}\lt\infty$ となるもの（ほとんど至るところ一致するものを同一視）の全体を $L^2(E)$ とし、内積を $(u,v)=\int_M\langle u,v\rangle\mathrm{vol}$ とします。下の座標と正規直交枠で成分に分ければ、Euclid 空間上の $L^2$ と同じく完備です（定理 6.2［L^p 空間と関数解析への導入］）。滑らかな切断の全体を $\Gamma(E)$ と書きます。$T^*M$ には Levi-Civita 接続から定まる接続を入れ、$E_j=(T^*M)^{\otimes j}\otimes E$ にはテンソル積の計量と接続を入れて計量束とします。$\nabla\colon\Gamma(E_j)\to\Gamma(E_{j+1})$ を $(\nabla u)(X)=\nabla_Xu$ で定め、$E_{j+1}=T^*M\otimes E_j$ とみなします。

座標と枠。 正の向きの座標近傍 $x_\alpha\colon U_\alpha\to\Omega_\alpha\subset\mathbb{R}^n$（$\alpha=1,\dots,N$）で $M$ を覆い、各 $U_\alpha$ 上に $E$ の正規直交枠 $e_1,\dots,e_r$ を固定します（局所自明化の枠に Gram–Schmidt の直交化を施す。必要なら $U_\alpha$ を小さく取る）。定理 6.3［部分多様体と正則値定理］ と $M$ のコンパクト性から、滑らかな関数 $\psi_\alpha$（$\operatorname{supp}\psi_\alpha\subset U_\alpha$ はコンパクト）で $\sum_\alpha\psi_\alpha=1$ となる有限個の族が取れ、補題 2.3［Schwartz 空間と緩増加超関数］ の 1 から、$U_\alpha$ にコンパクトな台をもち $\operatorname{supp}\psi_\alpha$ の近傍で $1$ になる滑らかな $\chi_\alpha$ も取れます。切断 $u$ の成分 $u^a$（$u=\sum_au^ae_a$）を $\Omega_\alpha$ 上の関数とみなします。$\mathrm{vol}=\mu_\alpha\,dx$（$\mu_\alpha=\sqrt{|g|}\gt0$、命題 3.3 の証明）と $|u|^2=\sum_a|u^a|^2$ から、コンパクト集合 $K\subset U_\alpha$ に台をもつ切断について

$$c_K^{-1}\|u\|^2\le\sum_a\int_{\Omega_\alpha}|u^a|^2dx\le c_K\|u\|^2$$

となる定数 $c_K$ があります。また $\nabla_{\partial_i}u=\sum_a\bigl(\partial_iu^a+\sum_b\omega^a{}_{ib}u^b\bigr)e_a$（$\omega^a{}_{ib}=\langle\nabla_{\partial_i}e_b,e_a\rangle$ は滑らか）で、$K$ 上では $|\nabla_{\partial_i}u|\le c'_K|\nabla u|$ です。$\rho_\varepsilon$ は 補題 2.1［Schwartz 空間と緩増加超関数］ の軟化子で、$\rho$ は動径関数なので $\rho_\varepsilon(-z)=\rho_\varepsilon(z)$ です。

補題 8.4（Friedrichs の補題）✓

$\Omega\subset\mathbb{R}^n$ を開集合、$K\subset\Omega$ をコンパクト集合、$\delta\gt0$ を $K_\delta=\lbrace x : \operatorname{dist}(x,K)\le\delta\rbrace\subset\Omega$ となる数、$A$ を $\Omega$ 上の滑らかな $r\times r$ 行列値関数とする。定数 $C$ があって、$0\lt\varepsilon\lt\delta$、$\operatorname{supp}w\subset K$ なる $w\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n;\mathbb{C}^r)$、$i=1,\dots,n$ について

$$\bigl\|A\,\partial_i(\rho_\varepsilon*w)-\rho_\varepsilon*(A\,\partial_iw)\bigr\|_{L^2}\le C\|w\|_{L^2}$$

が成り立つ（左辺の関数は $K_\varepsilon$ の外で $0$ なので $\mathbb{R}^n$ 上の関数とみなす）。

証明（補題 8.4）

積分記号下の微分（系 7.4［ルベーグ積分の定義と収束定理］）から $\partial_i(\rho_\varepsilon*w)(x)=\int(\partial_i\rho_\varepsilon)(x-y)w(y)\,dy$ です。一方 $y$ について部分積分すると（被積分関数は $y$ についてコンパクトな台をもつ）

$$\rho_\varepsilon*(A\partial_iw)(x)=\int(\partial_i\rho_\varepsilon)(x-y)A(y)w(y)\,dy-\int\rho_\varepsilon(x-y)(\partial_iA)(y)w(y)\,dy$$

なので、左辺の関数は $\int k(x,y)w(y)\,dy$、

$$k(x,y)=(\partial_i\rho_\varepsilon)(x-y)\bigl(A(x)-A(y)\bigr)+\rho_\varepsilon(x-y)(\partial_iA)(y)$$

です。$k(x,y)\ne0$ なら $y\in K$、$|x-y|\lt\varepsilon$ で、線分 $[y,x]$ は $K_\delta$ に入るので $\|A(x)-A(y)\|\le L|x-y|$（$L$ は $K_\delta$ 上の $\|dA\|$ の最大値）です。$M_0$ を $K$ 上の $\|\partial_iA\|$ の最大値とすると $\|k(x,y)\|\le g_\varepsilon(x-y)$、$g_\varepsilon(z)=L|z||\partial_i\rho_\varepsilon(z)|+M_0\rho_\varepsilon(z)$ で、$\partial_i\rho_\varepsilon(z)=\varepsilon^{-n-1}(\partial_i\rho)(z/\varepsilon)$ から変数変換で

$$\int g_\varepsilon(z)\,dz=L\int|z||\partial_i\rho(z)|\,dz+M_0$$

は $\varepsilon$ によりません。これを $C$ として、$|\int k(x,y)w(y)dy|\le\int g_\varepsilon(x-y)|w(y)|dy$ に Schur テスト（定理 5.1［作用素不等式と積分作用素］、$p=q=1$）を使えば主張を得ます。

∎

補題 8.5（多様体上の軟化作用素）✓

$E$ を計量束とし、上の座標と枠を固定する。各 $\alpha$ について $a_\alpha,b_\alpha$ を $U_\alpha$ にコンパクトな台をもつ実数値の滑らかな関数とし、$u\in L^2(E)$ に対して

$$G_\varepsilon u=\sum_\alpha a_\alpha\sum_a\bigl(\rho_\varepsilon*(b_\alpha u^a)\bigr)e_a$$

と定める（成分は $\alpha$ 番目の座標と枠で取り、$b_\alpha u^a$ は $\Omega_\alpha$ の外で $0$ に延ばす）。$\varepsilon_0\gt0$ と $C$ があって、$0\lt\varepsilon\lt\varepsilon_0$ について次が成り立つ。

1. $G_\varepsilon u\in\Gamma(E)$ で、$\|G_\varepsilon u\|\le C\|u\|$。
2. $\sum_\alpha a_\alpha b_\alpha=1$ なら、$\varepsilon\to0$ で $G_\varepsilon u\to u$（$L^2$）。とくに $\Gamma(E)$ は $L^2(E)$ で稠密である。
3. $G_\varepsilon$ の $L^2$ 随伴は $G_\varepsilon^*v=\sum_\alpha b_\alpha\mu_\alpha^{-1}\sum_a\bigl(\rho_\varepsilon*(a_\alpha\mu_\alpha v^a)\bigr)e_a$ で、$a_\alpha,b_\alpha$ を $b_\alpha\mu_\alpha^{-1}$、$a_\alpha\mu_\alpha$ に替えた同じ形の作用素である。
4. $P\colon\Gamma(E)\to\Gamma(E)$ が 1 階の微分作用素（各 $U_\alpha$ の成分で $Pu=\sum_iA_i\partial_iu+Bu$、$A_i,B$ は滑らかな行列値関数）なら、$u\in\Gamma(E)$ について $\|PG_\varepsilon u-G_\varepsilon Pu\|\le C\|u\|$。

証明（補題 8.5）

$\varepsilon_0$ を、各 $\alpha$ で $x_\alpha(\operatorname{supp}a_\alpha\cup\operatorname{supp}b_\alpha)$ の $2\varepsilon_0$ 近傍の閉包 $K_\alpha$ が $\Omega_\alpha$ に入るように取ります。

1。 補題 2.2［Schwartz 空間と緩増加超関数］ の 1 から $\rho_\varepsilon*(b_\alpha u^a)$ は滑らかで $L^2$ ノルムは $\|b_\alpha u^a\|_{L^2}$ 以下、台は $K_\alpha$ に入ります。$a_\alpha$ を掛けて $M$ 上に $0$ で延ばした切断は滑らかで、上のノルムの比較から主張を得ます。

2。 同じ補題から $\rho_\varepsilon*(b_\alpha u^a)\to b_\alpha u^a$（$L^2(dx)$）で、台は $K_\alpha$ に入るので、$G_\varepsilon u\to\sum_\alpha a_\alpha b_\alpha u=u$ です。$\psi_\alpha$、$\chi_\alpha$ は $\sum_\alpha\chi_\alpha\psi_\alpha=1$ をみたすので、$a_\alpha=\chi_\alpha$、$b_\alpha=\psi_\alpha$ ととった $G_\varepsilon$ により稠密性が出ます。

3。 $\rho_\varepsilon$ は偶関数で実数値なので、Fubini の定理から

$$(G_\varepsilon u,v)=\sum_\alpha\sum_a\int a_\alpha\bigl(\rho_\varepsilon*(b_\alpha u^a)\bigr)\overline{v^a}\mu_\alpha\,dx=\sum_\alpha\sum_a\int b_\alpha u^a\,\overline{\rho_\varepsilon*(a_\alpha\mu_\alpha v^a)}\,dx$$

で、これは $\bigl(u,\sum_\alpha b_\alpha\mu_\alpha^{-1}\sum_a\rho_\varepsilon*(a_\alpha\mu_\alpha v^a)e_a\bigr)$ に等しくなります。

4。 $J$ を成分ごとの $\rho_\varepsilon*$ とし、$U_\alpha$ 上で $P(a_\alpha w)=a_\alpha Pw+\sum_i(\partial_ia_\alpha)A_iw$、$b_\alpha Pu=P(b_\alpha u)-\sum_i(\partial_ib_\alpha)A_iu$ を使うと

$$PG_\varepsilon u-G_\varepsilon Pu=\sum_\alpha\Bigl[\sum_i(\partial_ia_\alpha)A_iJ(b_\alpha u)+a_\alpha\bigl(PJ-JP\bigr)(b_\alpha u)+a_\alpha J\Bigl(\sum_i(\partial_ib_\alpha)A_iu\Bigr)\Bigr]$$

です。第 1 項と第 3 項は、$K_\alpha$ 上で有界な係数と $\|J\cdot\|\le\|\cdot\|$ から $C\|u\|$ で抑えられます。第 2 項は $(PJ-JP)w=\sum_i\bigl(A_i\partial_i(\rho_\varepsilon*w)-\rho_\varepsilon*(A_i\partial_iw)\bigr)+B(\rho_\varepsilon*w)-\rho_\varepsilon*(Bw)$（$w=b_\alpha u$、台は $x_\alpha(\operatorname{supp}b_\alpha)$ に入る）で、補題 8.4（$K=x_\alpha(\operatorname{supp}b_\alpha)$、$\delta=\varepsilon_0$）と $B$ の有界性から $C\|u\|$ で抑えられます。

∎

以下、$F_\varepsilon$ は $a_\alpha=\chi_\alpha$、$b_\alpha=\psi_\alpha$ ととった $G_\varepsilon$ を表します。

補題 8.6（形式的随伴）✓

$E$ を計量束とし、$\eta\in\Gamma(T^*M\otimes E)$ に対し $\nabla^*\eta=-\sum_i(\nabla_{E_i}\eta)(E_i)$（$E_i$ は局所正規直交枠）とおく。$u\in\Gamma(E)$ について $(\nabla u,\eta)=(u,\nabla^*\eta)$ である。$\nabla^*\nabla$ は 定義 5.2 の接続 Laplacian に一致し、Clifford 加群 $S$ の Dirac 型作用素は $\psi,\varphi\in\Gamma(S)$ について $(D\psi,\varphi)=(\psi,D\varphi)$ をみたす。

証明（補題 8.6）

$\sum_i(\nabla_{E_i}\eta)(E_i)$ は $(v,w)\mapsto(\nabla_v\eta)(w)$ を計量で縮約したものなので枠によりません。ベクトル場 $Y$ を $\langle Y,X\rangle=\langle u,\eta(X)\rangle$ で定めます（複素の場合は実部と虚部それぞれについて）。点 $p$ で同期枠（5 節）を使うと $p$ で $\nabla_{E_i}E_i=0$ なので

$$\operatorname{div}Y=\sum_iE_i\langle u,\eta(E_i)\rangle=\sum_i\langle\nabla_{E_i}u,\eta(E_i)\rangle+\sum_i\langle u,(\nabla_{E_i}\eta)(E_i)\rangle=\langle\nabla u,\eta\rangle-\langle u,\nabla^*\eta\rangle$$

で、積分すると 命題 3.3 から左辺は $0$ です。$\nabla^*(\nabla\psi)=-\sum_i\bigl(\nabla_{E_i}\nabla_{E_i}\psi-\nabla_{\nabla_{E_i}E_i}\psi\bigr)$ は定義の式そのものです。Dirac 型作用素については $\eta(X)=-c(X)\varphi$ とおくと、$c(E_i)^*=-c(E_i)$ から $\langle\nabla\psi,\eta\rangle=\langle D\psi,\varphi\rangle$、Clifford 作用と接続の両立条件から $\nabla^*\eta=\sum_i\bigl(\nabla_{E_i}(c(E_i)\varphi)-c(\nabla_{E_i}E_i)\varphi\bigr)=D\varphi$ なので、$(D\psi,\varphi)=(\nabla\psi,\eta)=(\psi,D\varphi)$ です。

∎

定義 8.7（計量束の Sobolev 空間 H¹）↗

計量束 $E$ について、$\Gamma(E)$ 上のノルム $\|u\|_1^2=\|u\|^2+\|\nabla u\|^2$ に関する $\Gamma(E)$ の Cauchy 列 $(u_m)$ の $L^2(E)$ での極限 $u$ の全体を $H^1(E)$ とし、$\nabla u=\lim_m\nabla u_m$（$L^2(T^*M\otimes E)$ での極限）、$\|u\|_1^2=\|u\|^2+\|\nabla u\|^2$ と定める。

$\nabla u$ は列の取り方によりません。実際、同じ $u$ に収束する 2 つの列の差 $z_m$ について $z_m\to0$、$\nabla z_m\to\eta$ なら、$\theta\in\Gamma(T^*M\otimes E)$ について $(\eta,\theta)=\lim(\nabla z_m,\theta)=\lim(z_m,\nabla^*\theta)=0$（補題 8.6）で、補題 8.5 の 2 の稠密性から $\eta=0$ です。$u\in H^1(E)$ は $\|u-u_m\|_1\to0$ となる滑らかな $u_m$ をもつので、$H^1(E)$ の Cauchy 列は滑らかな列で近似でき、$H^1(E)$ は内積 $(u,v)+(\nabla u,\nabla v)$ について Hilbert 空間です。滑らかな束写像 $A\colon E\to E'$ は $H^1(E)\to H^1(E')$ を定め、近似から Leibniz 則 $\nabla(Au)=(\nabla A)u+A\nabla u$ が成り立ちます。

補題 8.8（Gårding の不等式）✓

$S$ を Clifford 加群、$D$ をその Dirac 型作用素、$\mathcal{R}$ を 定理 5.3 の曲率項とし、$C_{\mathcal{R}}$ を $M$ 上の $\|\mathcal{R}\|$ の最大値とする。$\psi\in\Gamma(S)$ について

$$\|D\psi\|\le\sqrt n\,\|\nabla\psi\|,\qquad\|\nabla\psi\|^2\le\|D\psi\|^2+C_{\mathcal{R}}\|\psi\|^2 .$$

したがって $D$ は有界作用素 $H^1(S)\to L^2(S)$ に延び、$u\in H^1(S)$ について $\|u\|_1^2\le\|Du\|^2+(1+C_{\mathcal{R}})\|u\|^2$、また $\varphi\in\Gamma(S)$ について $(Du,\varphi)=(u,D\varphi)$ が成り立つ。

証明（補題 8.8）

$c(E_i)^*c(E_i)=-c(E_i)^2=1$ なので $|D\psi|\le\sum_i|\nabla_{E_i}\psi|\le\sqrt n|\nabla\psi|$ です。補題 8.6 と 定理 5.3 から

$$\|\nabla\psi\|^2=(\nabla^*\nabla\psi,\psi)=(D^2\psi,\psi)-(\mathcal{R}\psi,\psi)=\|D\psi\|^2-(\mathcal{R}\psi,\psi)\le\|D\psi\|^2+C_{\mathcal{R}}\|\psi\|^2$$

です。最初の不等式から $D$ は $\|\cdot\|_1$ について連続なので $H^1(S)$ に延び、残りの主張は滑らかな切断での式の極限です。

∎

補題 8.9（閉多様体上の Rellich の定理）✓

計量束 $E$ について、$H^1(E)$ の有界列は $L^2(E)$ で収束する部分列をもつ。

証明（補題 8.9）

$\|u_m\|_1\le C$ とし、$\|u_m-w_m\|_1\lt1/m$ なる $w_m\in\Gamma(E)$ を取ります。$w_m$ が $L^2$ で収束する部分列をもてば十分です。$\alpha$ を固定すると、成分 $(\psi_\alpha w_m)^a$ は台が $x_\alpha(\operatorname{supp}\psi_\alpha)$ に入る滑らかな関数で、$\partial_i(\psi_\alpha w_m)^a=(\nabla_{\partial_i}(\psi_\alpha w_m))^a-\sum_b\omega^a{}_{ib}(\psi_\alpha w_m)^b$ と $\nabla(\psi_\alpha w_m)=d\psi_\alpha\otimes w_m+\psi_\alpha\nabla w_m$ から、ノルムの比較により $\|(\psi_\alpha w_m)^a\|_{L^2}^2+\|\nabla_{\mathbb{R}^n}(\psi_\alpha w_m)^a\|_{L^2}^2$ は $m$ について有界です。命題 3.2［Sobolev 空間］ からこれは $H^1(\mathbb{R}^n)$ のノルムの 2 乗なので、定理 5.1［Sobolev 空間］（$s=1$、$t=0$）により $L^2(\mathbb{R}^n)$ で収束する部分列が取れます。有限個の $\alpha$ と $a$ について順に部分列を取れば、すべての $\psi_\alpha w_m$ が $L^2(E)$ で収束し、$w_m=\sum_\alpha\psi_\alpha w_m$ も収束します。

∎

補題 8.10（弱解は H¹ に入る）✓

$S$ を Clifford 加群とする。$u,f\in L^2(S)$ がすべての $\varphi\in\Gamma(S)$ について $(u,D\varphi)=(f,\varphi)$ をみたせば、$u\in H^1(S)$、$Du=f$ で、$u$ と $f$ によらない定数 $C$ について $\|u\|_1\le C(\|f\|+\|u\|)$。

証明（補題 8.10）

$\varphi\in\Gamma(S)$ とします。補題 8.5 の 1 と 3 から $F_\varepsilon u$ と $F_\varepsilon^*\varphi$ は滑らかで、補題 8.6 から

$$(DF_\varepsilon u,\varphi)=(F_\varepsilon u,D\varphi)=(u,F_\varepsilon^*D\varphi)=(u,DF_\varepsilon^*\varphi)-(u,C_\varepsilon\varphi),\qquad C_\varepsilon=DF_\varepsilon^*-F_\varepsilon^*D$$

です。$D$ は 1 階の微分作用素です（$U_\alpha$ 上の正規直交枠 $E_k=\sum_i\lambda_k^i\partial_i$ と上の $\nabla_{\partial_i}u$ の成分の式から、成分で $Du=\sum_i\bigl(\sum_k\lambda_k^ic(E_k)\bigr)\partial_iu+Bu$ の形）。$F_\varepsilon^*$ も同じ形の作用素なので、補題 8.5 の 4 から $\|C_\varepsilon\varphi\|\le C\|\varphi\|$（$C$ は $\varepsilon$ によらない）で、$C_\varepsilon$ は $L^2$ 上の有界作用素に延びます。仮定から $(u,DF_\varepsilon^*\varphi)=(f,F_\varepsilon^*\varphi)=(F_\varepsilon f,\varphi)$ なので、$(DF_\varepsilon u-F_\varepsilon f+C_\varepsilon^*u,\varphi)=0$ がすべての $\varphi$ について成り立ち、稠密性から $DF_\varepsilon u=F_\varepsilon f-C_\varepsilon^*u$、$\|DF_\varepsilon u\|\le C(\|f\|+\|u\|)$ です。補題 8.8 から $\|F_\varepsilon u\|_1\le C'(\|f\|+\|u\|)$ です。

$\varepsilon_m\to0$ とし $u_m=F_{\varepsilon_m}u$ とおくと、$u_m$ は $H^1(S)$ で有界で、補題 8.5 の 2 から $L^2$ で $u$ に収束します。$u_m$ の張る閉部分空間 $V\subset H^1(S)$ は可分なので、定理 5.5［Hilbert 空間の基礎］ から $V$ で弱収束する部分列があり、その弱極限 $w\in V$ は $\|w\|_1\le C'(\|f\|+\|u\|)$ をみたします。$v\in L^2(S)$ について $x\mapsto(x,v)$ は $V$ 上の有界線形汎関数（$|(x,v)|\le\|x\|_1\|v\|$）なので、Riesz の表現定理（定理 4.2［Hilbert 空間の基礎］）で $V$ の内積で表され、弱収束から $(u_m,v)\to(w,v)$ です。一方 $(u_m,v)\to(u,v)$ なので $u=w\in H^1(S)$ です。最後に、補題 8.8 から $(Du,\varphi)=(u,D\varphi)=(f,\varphi)$ がすべての $\varphi$ で成り立ち、稠密性から $Du=f$ です。

∎

補題 8.11（共変微分と Dirac 型作用素の交換）✓

$S$ を Clifford 加群とし、$S_j=(T^*M)^{\otimes j}\otimes S$ にテンソル積の計量と接続、Clifford 積 $c(v)(\theta\otimes s)=\theta\otimes c(v)s$ を入れる。$S_j$ は Clifford 加群で、その Dirac 型作用素を $D_j$、接続の曲率を $F_j$ とすると、$w\in\Gamma(S_j)$ について

$$D_{j+1}(\nabla w)=\nabla(D_jw)+Z_jw,\qquad(Z_jw)(X)=\sum_ic(E_i)F_j(E_i,X)w$$

であり、$Z_j$ は滑らかな束写像 $S_j\to S_{j+1}$ である。

証明（補題 8.11）

$c(v)^2=-|v|^2$、$c(v)^*=-c(v)$ は $S$ の因子で成り立ちます。$\nabla_X\bigl(\theta\otimes c(Y)s\bigr)=\nabla_X\theta\otimes c(Y)s+\theta\otimes\bigl(c(\nabla_XY)s+c(Y)\nabla_Xs\bigr)$ なので、両立条件 $\nabla_X(c(Y)w)=c(\nabla_XY)w+c(Y)\nabla_Xw$ も成り立ち、$S_j$ は Clifford 加群です。$\nabla^2_{X,Y}w=\nabla_X\nabla_Yw-\nabla_{\nabla_XY}w$ とおくと、捩れがないので $\nabla^2_{X,Y}w-\nabla^2_{Y,X}w=F_j(X,Y)w$ です。点 $p$ で同期枠を使うと、$p$ で

$$\bigl(D_{j+1}\nabla w\bigr)(X)=\sum_ic(E_i)\nabla^2_{E_i,X}w,\qquad\bigl(\nabla D_jw\bigr)(X)=\nabla_X\Bigl(\sum_ic(E_i)\nabla_{E_i}w\Bigr)=\sum_ic(E_i)\nabla^2_{X,E_i}w$$

です（前者は $(\nabla_{E_i}(\nabla w))(X)=\nabla^2_{E_i,X}w$、後者は両立条件と $p$ で $\nabla E_i=0$ による）。差は $\sum_ic(E_i)F_j(E_i,X)w$ で、両辺とも枠によらないので、すべての点で主張が成り立ちます。

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定理 8.12（Dirac 型作用素の楕円型理論）✓

$S$ を Clifford 加群、$D$ をその Dirac 型作用素とする。

1. （正則性）$u\in L^2(S)$ と $f\in\Gamma(S)$ がすべての $\varphi\in\Gamma(S)$ について $(u,D\varphi)=(f,\varphi)$ をみたせば、$u$ はほとんど至るところ滑らかな切断に一致し、$Du=f$ である。
2. $K=\lbrace u\in L^2(S) : (u,D\varphi)=0\ (\varphi\in\Gamma(S))\rbrace$ は滑らかな切断からなる有限次元空間で、$K=\lbrace\psi\in\Gamma(S) : D\psi=0\rbrace$ である。
3. $D(H^1(S))=K^\perp$ で、これは $L^2(S)$ の閉部分空間である。$f\in\Gamma(S)$ が $K$ に直交すれば、$Du=f$ かつ $u\perp K$ となる $u\in\Gamma(S)$ がただ一つ存在する。

証明（定理 8.12）

1。 補題 8.11 の記号を使い、次を $j$ についての帰納法で示します: $v_0=u$ から始めて、$v_i\in H^1(S_i)$（$i\le j$）、$v_{i+1}=\nabla v_i$（$i\lt j$）であり、$D_jv_j=g_j$。ここで $g_j=\nabla^jf+\sum_{i\lt j}A_{j,i}v_i$、$A_{j,i}\colon S_i\to S_j$ は滑らかな束写像です。$j=0$ は 補題 8.10（$g_0=f$）です。$j$ まで成り立つとして、$v_{j+1}=\nabla v_j\in L^2(S_{j+1})$ とおき、$\varphi\in\Gamma(S_{j+1})$ と $\|w_m-v_j\|_1\to0$ なる $w_m\in\Gamma(S_j)$ を取ると、補題 8.6（$D_{j+1}$ と $\nabla$ について）と 補題 8.11 から

$$(v_{j+1},D_{j+1}\varphi)=\lim_m(D_{j+1}\nabla w_m,\varphi)=\lim_m\bigl[(D_jw_m,\nabla^*\varphi)+(Z_jw_m,\varphi)\bigr]=(g_j,\nabla^*\varphi)+(Z_jv_j,\varphi)$$

です（補題 8.8 の $D_j\colon H^1\to L^2$ の連続性と $D_jv_j=g_j$ を使った）。$H^1$ の元 $v_i$ と滑らかな $A$ について、近似と 補題 8.6 から $(Av_i,\nabla^*\varphi)=((\nabla A)v_i+A\nabla v_i,\varphi)$ で、$\nabla v_i=v_{i+1}$（$i\le j$）です。よって $(v_{j+1},D_{j+1}\varphi)=(g_{j+1},\varphi)$、

$$g_{j+1}=\nabla^{j+1}f+\sum_{i\lt j}\bigl((\nabla A_{j,i})v_i+A_{j,i}v_{i+1}\bigr)+Z_jv_j$$

で、$g_{j+1}$ は再び $\nabla^{j+1}f$ と $v_0,\dots,v_j$ に滑らかな束写像を施したものの和で $L^2$ に入ります。補題 8.10 から $v_{j+1}\in H^1(S_{j+1})$、$D_{j+1}v_{j+1}=g_{j+1}$ で、帰納法が進みます。

次に、座標で滑らかさを読み取ります。$U_\alpha$ 上で $S_j$ の滑らかな枠 $dx^{i_1}\otimes\dots\otimes dx^{i_j}\otimes e_a$ を使い、成分を考えます。一般に、滑らかな枠 $f_B$ をもつ計量束で $w\in H^1$ を滑らかな $w_m$ で近似すると、$(\nabla_{\partial_i}w_m)^B=\partial_iw_m^B+\sum_C\Gamma^B{}_{iC}w_m^C$（$\nabla_{\partial_i}f_C=\sum_B\Gamma^B{}_{iC}f_B$）の両辺がコンパクト集合上で $L^2$ 収束するので、弱微分の定義（定義 2.1［Sobolev 空間］）の両辺の極限を取って、$w^B$ は $L^2_{\mathrm{loc}}$ の弱微分 $\partial_iw^B=(\nabla_{\partial_i}w)^B-\sum_C\Gamma^B{}_{iC}w^C$ をもちます。$w=v_j$ に使うと、$(\nabla_{\partial_i}v_j)$ の成分は $v_{j+1}$ の成分なので、$v_j$ の成分の弱微分は $v_j$ と $v_{j+1}$ の成分の滑らかな係数の 1 次結合です。滑らかな関数 $c$ との積の弱微分は $\partial_i(cw)=(\partial_ic)w+c\,\partial_iw$（試験関数 $c\varphi$ を使う）なので、多重指数の長さについての帰納法で、$u$ の成分 $u^a$ はすべての階数の弱微分をもち、$\partial^\beta u^a$ は $v_0,\dots,v_{|\beta|}$ の成分の滑らかな係数の 1 次結合で $L^2_{\mathrm{loc}}$ に入ります。$\theta\in C_c^\infty(\Omega_\alpha)$ について、$h=\theta u^a$（$0$ で延長）は同じ積の公式からすべての階数の弱微分を $L^2(\mathbb{R}^n)$ にもち、命題 3.2［Sobolev 空間］ からすべての $k$ で $h\in H^k(\mathbb{R}^n)$、すなわち $\langle\xi\rangle^k\hat h\in L^2$ です。$s\gt n/2$ を固定すると Cauchy–Schwarz の不等式から $\int\langle\xi\rangle^k|\hat h|\le\|\langle\xi\rangle^{-s}\|_{L^2}\|\langle\xi\rangle^{k+s}\hat h\|_{L^2}\lt\infty$ で、$h\in L^1$（台がコンパクト）と $\hat h\in L^1$ から、反転公式（定理 3.3［ℝⁿ 上のフーリエ変換］）によりほとんど至るところ $h(x)=(2\pi)^{-n}\int\hat h(\xi)e^{ix\cdot\xi}d\xi$ です。右辺は、$|\xi^\beta\hat h|$ が可積分なので積分記号下の微分（系 7.4［ルベーグ積分の定義と収束定理］）を繰り返して $C^\infty$ です。$\alpha$ と $\theta$ を動かせば、$u$ はほとんど至るところ滑らかな切断に一致します。$Du=f$ は 補題 8.10 です。

2。 1 を $f=0$ に使うと $K$ の元は滑らかで $Du=0$ です。逆に $\psi\in\Gamma(S)$、$D\psi=0$ なら 補題 8.6 から $\psi\in K$ です。$K$ は連続な汎関数の零点の共通部分なので閉部分空間です。$u\in K$ について 補題 8.8 から $\|u\|_1^2\le(1+C_{\mathcal{R}})\|u\|^2$ なので、$K$ の単位球の点列は $H^1$ で有界で、補題 8.9 から $L^2$ で収束する部分列をもち、極限は閉集合 $K$ の単位球に入ります。よって $K$ の閉単位球はコンパクトで、系 2.2［Fredholm 理論］ から $K$ は有限次元です。

3。 $K$ は有限次元なので、その上への直交射影 $P$ が定まり（定理 3.4［Hilbert 空間の基礎］）、$K\subset\Gamma(S)\subset H^1(S)$、$DP=0$ です。

評価。 定数 $C_1$ があって、$u\in H^1(S)$、$u\perp K$ なら $\|u\|\le C_1\|Du\|$ です。そうでなければ $\|u_m\|=1$、$u_m\perp K$、$\|Du_m\|\to0$ となる $u_m\in H^1(S)$ があり、補題 8.8 から $H^1$ で有界、補題 8.9 から部分列が $L^2$ で $u$ に収束します。$\|u\|=1$、$u\perp K$ で、$\varphi\in\Gamma(S)$ について $(u,D\varphi)=\lim(u_m,D\varphi)=\lim(Du_m,\varphi)=0$ なので $u\in K$、したがって $u=0$ となり矛盾します。

値域は閉。 $Du_m\to f$（$u_m\in H^1(S)$）とします。$u_m$ を $u_m-Pu_m$ に替えても $Du_m$ は変わらないので $u_m\perp K$ としてよく、評価と 補題 8.8 から $\|u_m-u_l\|_1^2\le\|D(u_m-u_l)\|^2+(1+C_{\mathcal{R}})C_1^2\|D(u_m-u_l)\|^2$ です。よって $(u_m)$ は $H^1(S)$ の Cauchy 列で、極限 $u$ について $Du=f$ です。

値域は $K^\perp$。 $u\in H^1(S)$、$k\in K$ なら $(Du,k)=(u,Dk)=0$ なので $D(H^1(S))\subset K^\perp$ です。逆に $g\in L^2(S)$ が $D(H^1(S))$ に直交すれば、とくに $(g,D\varphi)=0$（$\varphi\in\Gamma(S)$）なので $g\in K$ です。よって $D(H^1(S))^\perp\subset K$ で、値域が閉なので 系 3.7［Hilbert 空間の基礎］ から $D(H^1(S))=(D(H^1(S))^\perp)^\perp\supset K^\perp$ です。

滑らかな解。 $f\in\Gamma(S)$、$f\perp K$ なら $f=Du$（$u\in H^1(S)$）で、$u-Pu$ に替えて $u\perp K$ とできます。補題 8.8 から $(u,D\varphi)=(Du,\varphi)=(f,\varphi)$ なので、1 から $u$ は滑らかです。二つの解の差は $K\cap K^\perp=0$ に入るので、解はただ一つです。

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