数学 › 微分幾何学 › Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

共変微分と Dirac 型作用素の交換

補題 8.11（「Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素」§8） ・ ✓公理まで証明済み

SS を Clifford 加群とし、Sj=(T∗M)⊗j⊗SS_j=(T^*M)^{\otimes j}\otimes S にテンソル積の計量と接続、Clifford 積 c(v)(θ⊗s)=θ⊗c(v)sc(v)(\theta\otimes s)=\theta\otimes c(v)s を入れる。SjS_j は Clifford 加群で、その Dirac 型作用素を DjD_j、接続の曲率を FjF_j とすると、w∈Γ(Sj)w\in\Gamma(S_j) について

Dj+1(∇w)=∇(Djw)+Zjw,(Zjw)(X)=∑ic(Ei)Fj(Ei,X)wD_{j+1}(\nabla w)=\nabla(D_jw)+Z_jw,\qquad(Z_jw)(X)=\sum_ic(E_i)F_j(E_i,X)w

であり、ZjZ_j は滑らかな束写像 Sj→Sj+1S_j\to S_{j+1} である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件