数学 › 微分幾何学 › Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

Hodge 分解の直交性と調和代表元の一意性

命題 4.1（「Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素」§4）・ ✓公理まで証明済み

$\mathcal{H}^k$ 、 $d\Omega^{k-1}$ 、 $\delta\Omega^{k+1}$ は L² 内積について互いに直交する。
閉形式 $\omega$ について、 $\omega+d\eta$ の形の調和形式は高々一つである。
$\omega$ が閉かつ $\delta\omega=0$ なら、 $\|\omega+d\eta\|\ge\|\omega\|$ がすべての $\eta$ について成り立ち、等号は $d\eta=0$ のときに限る。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 9 件、定義なども含めて 13 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理
  - ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理
    外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
    フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分この先をたどる →
    チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Hodge の定理✓定理 4.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

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