数学 › 微分幾何学 › Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

Hodge の定理

定理 4.4（「Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素」§4）・ ✓公理まで証明済み

$M$ を向き付けられたコンパクトな Riemann 多様体とする。

L² 直交分解 $\Omega^k(M)=\mathcal{H}^k\oplus d\Omega^{k-1}(M)\oplus\delta\Omega^{k+1}(M)$ が成り立つ。
各 de Rham 類はただ一つの調和代表元を持ち、 $H^k_{\mathrm{dR}}(M)\cong\mathcal{H}^k$ 。とくに Betti 数 $b_k=\dim H^k_{\mathrm{dR}}(M)$ は有限である。
（Poincaré 双対性） $\star$ は同型 $\mathcal{H}^k\cong\mathcal{H}^{n-k}$ を与え、 $b_k=b_{n-k}$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 175 件、定義なども含めて 201 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Hodge Laplacian の解析的性質✓定理 4.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式
    外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
    外積代数の基本性質✓定理 5.3・ベクトル場と微分形式
    シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
  - 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
    余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
- Dirac 型作用素の楕円型理論✓定理 8.12・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 共変微分と Dirac 型作用素の交換✓補題 8.11・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 弱解は H¹ に入る✓補題 8.10・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    多様体上の軟化作用素✓補題 8.5・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
    形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
    Gårding の不等式✓補題 8.8・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
    有界列の弱収束部分列✓定理 5.5・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
    リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - Gårding の不等式✓補題 8.8・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
    Weitzenböck 公式✓定理 5.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 弱微分と $W^{k,p}$ 定義 2.1・Sobolev 空間
  - $Hᵏ = W^{k,2}$ ✓命題 3.2・Sobolev 空間
    超関数の演算定義 6.3・Schwartz 空間と緩増加超関数
    𝒮 上の基本操作✓命題 3.5・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
    𝒮′ 上の Fourier 変換✓定理 6.4・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
  - 反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換
    Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    Gauss 関数の Fourier 変換✓命題 3.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換この先をたどる →
    Gauss 核による近似✓補題 3.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換この先をたどる →
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 閉多様体上の Rellich の定理✓補題 8.9・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - Riesz の定理✓系 2.2・Fredholm 理論
    Riesz の補題✓補題 2.1・Fredholm 理論
  - 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - 二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
- 調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
Hodge 分解の直交性と調和代表元の一意性✓命題 4.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
- 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理この先をたどる →
Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Hodge 分解✓定理 5.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
難 Lefschetz 定理✓定理 6.2・Hodge 分解と Lefschetz 分解
Lefschetz の (1,1) 定理✓定理 8.2・層コホモロジーと直線束
Bochner の公式と消滅定理✓系 5.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

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前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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