数学 › 微分幾何学 › Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

Gårding の不等式

補題 8.8（「Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素」§8）・ ✓公理まで証明済み

$S$ を Clifford 加群、 $D$ をその Dirac 型作用素、 $\mathcal{R}$ を定理 5.3 の曲率項とし、 $C_{\mathcal{R}}$ を $M$ 上の $\|\mathcal{R}\|$ の最大値とする。 $\psi\in\Gamma(S)$ について

\|D\psi\|\le\sqrt n\,\|\nabla\psi\|,\qquad\|\nabla\psi\|^2\le\|D\psi\|^2+C_{\mathcal{R}}\|\psi\|^2 .

したがって $D$ は有界作用素 $H^1(S)\to L^2(S)$ に延び、 $u\in H^1(S)$ について $\|u\|_1^2\le\|Du\|^2+(1+C_{\mathcal{R}})\|u\|^2$ 、また $\varphi\in\Gamma(S)$ について $(Du,\varphi)=(u,D\varphi)$ が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 25 件、定義なども含めて 29 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
    接続の局所性と Christoffel 記号✓命題 4.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
    Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
    余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質この先をたどる →
  - 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理この先をたどる →
Weitzenböck 公式✓定理 5.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

これを使っている定理証明で参照している 4 件

0 階の項をもつ Dirac 型作用素✓補題 3.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
弱解は H¹ に入る✓補題 8.10・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
Dirac 型作用素の楕円型理論✓定理 8.12・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
楕円型作用素のフレドホルム性（Dirac 型の場合）✓命題 2.4・指数定理

Gårding の不等式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件