楕円型作用素のフレドホルム性（Dirac 型の場合）

命題 2.4（「指数定理」§2）・ ✓公理まで証明済み

$M$ を境界のないコンパクトな向き付けられた Riemann 多様体、 $S$ を Clifford 加群とし、 $S$ の自己共役な束写像 $\gamma$ で $\gamma^2=1$ 、 $\nabla\gamma=\gamma\nabla$ 、 $\gamma c(v)=-c(v)\gamma$ をみたすもの（次数作用素）があるとします。 $S^\pm$ を $\gamma=\pm1$ の固有部分束とすると、Dirac 型作用素 $D$ は $\Gamma(S^\pm)$ を $\Gamma(S^\mp)$ に写すので、 $D^\pm=D|_{\Gamma(S^\pm)}$ とおきます。このとき $D^+$ は有界作用素 $D^+\colon H^1(S^+)\to L^2(S^-)$ （定義 8.7［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］）に延び、これはフレドホルム作用素です。その核は $\ker D^+$ （滑らかな切断で $D^+\psi=0$ となるもの）に一致し、余核は $\ker D^-$ と同型で、どちらも有限次元です。したがって $\operatorname{ind}D^+=\dim\ker D^+-\dim\ker D^-$ です。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 164 件、定義なども含めて 190 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Gårding の不等式✓補題 8.8・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
    余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
- Weitzenböck 公式✓定理 5.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
Dirac 型作用素の楕円型理論✓定理 8.12・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 共変微分と Dirac 型作用素の交換✓補題 8.11・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 弱解は H¹ に入る✓補題 8.10・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 多様体上の軟化作用素✓補題 8.5・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
    Friedrichs の補題✓補題 8.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - Gårding の不等式✓補題 8.8・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - 有界列の弱収束部分列✓定理 5.5・Hilbert 空間の基礎
    リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎（上で展開済み）
  - リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎
    射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎（上で展開済み）
- 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
- Gårding の不等式✓補題 8.8・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
- 弱微分と $W^{k,p}$ 定義 2.1・Sobolev 空間
- $Hᵏ = W^{k,2}$ ✓命題 3.2・Sobolev 空間
  - 超関数の演算定義 6.3・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 𝒮 上の基本操作✓命題 3.5・Schwartz 空間と緩増加超関数
    連続性の半ノルムによる判定✓補題 3.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
    動径関数の積分✓系 6.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 𝒮′ 上の Fourier 変換✓定理 6.4・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
- 反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - Gauss 関数の Fourier 変換✓命題 3.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換この先をたどる →
  - Gauss 核による近似✓補題 3.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換
    平行移動の連続性✓補題 2.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換この先をたどる →
- 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 閉多様体上の Rellich の定理✓補題 8.9・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - $Hᵏ = W^{k,2}$ ✓命題 3.2・Sobolev 空間（上で展開済み）
  - Rellich のコンパクト性定理✓定理 5.1・Sobolev 空間この先をたどる →
- Riesz の定理✓系 2.2・Fredholm 理論
  - Riesz の補題✓補題 2.1・Fredholm 理論
- 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎
  - 平行四辺形則と分極恒等式✓命題 2.3・Hilbert 空間の基礎
  - 最近点の変分的特徴づけ✓補題 3.3・Hilbert 空間の基礎
  - 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
- 二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎
  - 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
  - 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎（上で展開済み）
フレドホルム作用素と指数定義 2.1・指数定理

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

楕円型作用素のフレドホルム性（Dirac 型の場合）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）