数学 › 微分幾何学 › Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

弱解は H¹ に入る

補題 8.10（「Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素」§8） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 115 件、定義なども含めて 133 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 多様体上の軟化作用素✓補題 8.5・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

  • 軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数

    • $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

      • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
      • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入

      • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
      • $ℝ^d$ のルベーグ測度は Radon でボレル正則✓命題 5.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
      • Radon 測度定義 3.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
      • σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
      • Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間 この先をたどる →
      • ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
    • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
      • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入

      • 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
      • チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
      • ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
    • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
  • Friedrichs の補題✓補題 8.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

    • 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • Schur テスト✓定理 5.1・作用素不等式と積分作用素

      • Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
• 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

  • 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

    • 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

      • 接続の局所性と Christoffel 記号✓命題 4.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続 この先をたどる →
      • Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続 この先をたどる →
      • 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質 この先をたどる →
    • 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素 この先をたどる →
• Gårding の不等式✓補題 8.8・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

  • 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  • Weitzenböck 公式✓定理 5.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
• 有界列の弱収束部分列✓定理 5.5・Hilbert 空間の基礎

  • リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎（上で展開済み）
• リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎

  • 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎

    • 平行四辺形則と分極恒等式✓命題 2.3・Hilbert 空間の基礎
    • 最近点の変分的特徴づけ✓補題 3.3・Hilbert 空間の基礎
    • 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• 0 階の項をもつ Dirac 型作用素✓補題 3.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
• Dirac 型作用素の楕円型理論✓定理 8.12・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素