数学 › 関数解析と作用素論 › Hilbert 空間の基礎

有界列の弱収束部分列

定理 5.5（「Hilbert 空間の基礎」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\mathcal{H}$ を可分な Hilbert 空間とし、 $(x_n)$ を有界列（ $\sup_n\|x_n\|\le C<\infty$ ）とする。このとき弱収束する部分列 $(x_{n_j})$ が存在し、その弱極限 $x$ は $\|x\|\le C$ を満たす。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎
- 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎
  - 平行四辺形則と分極恒等式✓命題 2.3・Hilbert 空間の基礎
  - 最近点の変分的特徴づけ✓補題 3.3・Hilbert 空間の基礎
  - 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎

これを使っている定理証明で参照している 4 件

弱解は H¹ に入る✓補題 8.10・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
有界列の弱収束部分列（可分性なし）✓系 5.6・Hilbert 空間の基礎
差分商と弱微分✓補題 2.2・楕円型正則性と最大値原理
凸積分汎関数の直接法✓定理 5.2・楕円型方程式の弱解と変分法