数学 › 偏微分方程式 › 楕円型方程式の弱解と変分法

凸積分汎関数の直接法

定理 5.2（「楕円型方程式の弱解と変分法」§5） ・ ✓公理まで証明済み

F:Ω×Rn→RF:\Omega\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}、G:Ω×R→RG:\Omega\times\mathbb{R}\to\mathbb{R} は、xx について可測、pp（または zz）について凸で C1C^1 級とし、定数 λ>0\lambda\gt0、C≥0C\ge0 と g0∈L1(Ω)g_0\in L^1(\Omega)、g1∈L2(Ω)g_1\in L^2(\Omega) について次を満たすとする。

λ∣p∣2−g0(x)≤F(x,p)≤C∣p∣2+g0(x),∣∇pF(x,p)∣≤C∣p∣+g1(x),\lambda|p|^2-g_0(x)\le F(x,p)\le C|p|^2+g_0(x),\qquad|\nabla_pF(x,p)|\le C|p|+g_1(x),∣G(x,z)∣≤Cz2+g0(x),∣∂zG(x,z)∣≤C∣z∣+g1(x).|G(x,z)|\le Cz^2+g_0(x),\qquad|\partial_zG(x,z)|\le C|z|+g_1(x).

このとき I[w]=∫Ω(F(x,∇w)+G(x,w))dxI[w]=\int_\Omega\bigl(F(x,\nabla w)+G(x,w)\bigr)dx は H01(Ω)H^1_0(\Omega) 上で最小値をとる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 7 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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