Euler–Lagrange 方程式

定理 5.3（「楕円型方程式の弱解と変分法」§5）・ ✓公理まで証明済み

定理 5.2 の仮定のもとで、 $u\in H^1_0(\Omega)$ について次は同値である。

\int_\Omega\Bigl(\nabla_pF(x,\nabla u)\cdot\nabla v+\partial_zG(x,u)\,v\Bigr)dx=0 .

すなわち $u$ は $-\operatorname{div}\bigl(\nabla_pF(x,\nabla u)\bigr)+\partial_zG(x,u)=0$ 、 $u|_{\partial\Omega}=0$ の弱解である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 8 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

凸積分汎関数の直接法✓定理 5.2・楕円型方程式の弱解と変分法
- Poincaré の不等式✓補題 2.1・楕円型方程式の弱解と変分法
- 有界列の弱収束部分列✓定理 5.5・Hilbert 空間の基礎
  - リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎
    射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。