数学 › 偏微分方程式 › 楕円型方程式の弱解と変分法

Poincaré の不等式

補題 2.1（「楕円型方程式の弱解と変分法」§2）・ ✓公理まで証明済み

$\Omega$ がある方向の幅 $d$ の帯 $\{a\lt x_1\lt a+d\}$ に含まれるなら、すべての $u\in H^1_0(\Omega)$ について $\|u\|\le d\,\|\partial_1u\|$ である。特に $\|\nabla u\|$ は $H^1_0(\Omega)$ 上で $\|u\|_{H^1}$ と同値なノルムである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理証明で参照している 6 件

逆不等式と条件数✓命題 6.3・有限要素法 II
Dirichlet–Neumann bracketing✓定理 4.1・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則
Schauder 評価（Campanato の方法）✓定理 5.6・楕円型正則性と最大値原理
弱最大値原理✓定理 6.2・楕円型正則性と最大値原理
弱解の存在と一意性✓定理 4.2・楕円型方程式の弱解と変分法
凸積分汎関数の直接法✓定理 5.2・楕円型方程式の弱解と変分法

関連するノック 5 問