弱最大値原理

定理 6.2（「楕円型正則性と最大値原理」§6）・ ✓公理まで証明済み

$\Omega$ を有界な開集合、 $L=-\sum\partial_j(a^{ij}\partial_i\,\cdot)+c$ を一様楕円型（ $a^{ij},c\in L^\infty$ ）で $c\ge0$ とする。 $u\in H^1(\Omega)$ が、 $v\ge0$ を満たすすべての $v\in H^1_0(\Omega)$ について $B[u,v]\le0$ （弱い意味で $Lu\le0$ ）を満たし、 $u^+\in H^1_0(\Omega)$ （弱い意味で境界上 $u\le0$ ）であるとする。このとき $\Omega$ 上 a.e. で $u\le0$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 82 件、定義なども含めて 97 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

正の部分の弱微分✓補題 6.1・楕円型正則性と最大値原理
- 局所的な軟化✓補題 2.1・楕円型正則性と最大値原理
  - 弱微分と $W^{k,p}$ 定義 2.1・Sobolev 空間
  - 軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
    $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
Poincaré の不等式✓補題 2.1・楕円型方程式の弱解と変分法

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

弱最大値原理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）