楕円型正則性と最大値原理：差分商・凸領域の H² 評価・Campanato の方法による Schauder 評価・Allegretto–Piepenbrink

0. この記事の要点

楕円型方程式の弱解は、方程式を部分積分した形でしか満たさない「ゆるい」解です。たとえば板の温度分布を決める方程式で、ゆるい意味でしか方程式を満たさない解でも、内部では滑らかに変わると言えるのでしょうか。この記事は、その問いに答える道具として、差分商による $L^2$ の評価と、積分で Hölder 連続性をとらえる Campanato の方法を順に見ます。読み終えると、弱解が 2 回微分できて方程式が各点で成り立つ条件と、その証明の仕組みが分かります。

• 係数が $C^1$ 級なら、$Lu=f\in L^2$ の弱解 $u\in H^1$ は内部で $H^2$ に入ります（内部 $H^2$ 正則性）。証明は、方程式に差分商を施して得られるエネルギー評価と、「差分商が一様に有界なら弱微分が存在する」という補題です。
• 凸領域では、$u=0$ を境界値とする関数について $\|D^2u\|_{L^2}\le\|\Delta u\|_{L^2}$ が成り立ちます。部分積分の境界項が境界の曲がり方（凸性）で符号を持つからです（Grisvard の評価の核心）。
• 関数が Hölder 連続（2 点の値の差が距離の $\alpha$ 乗で抑えられること）であることは、球の上での平均からのずれ $\int_{B_\rho}|g-g_\rho|^2$ が $\rho^{n+2\alpha}$ で減衰することと同値です（Campanato の定理）。調和関数との比較と反復補題でこの減衰を示すと、$\Delta u=\operatorname{div}F$、$F\in C^{0,\alpha}$ なら $\nabla u\in C^{0,\alpha}$、したがって $\Delta u=f\in C^{0,\alpha}$ なら $D^2u\in C^{0,\alpha}$ です（Schauder 評価）。
• $c\ge0$ の発散形作用素では、境界で $u\le0$（$u^+\in H^1_0$）かつ $Lu\le0$ の弱解は $u\le0$ です（弱最大値原理）。
• $-\Delta+V$ が正の（優）解 $\psi$ をもてば、二次形式は $E$ 以上です（Allegretto–Piepenbrink の定理）。基底状態変換 $\varphi=\psi g$（正の解 $\psi$ で割って、二次形式を非負の項と残りの項に書き直す変換）による恒等式から出ます。Hardy の不等式はその一例です。

この記事で使う事前知識

• 弱解: 方程式を試験関数との積分に直した形で満たす解のこと。→ 弱解
• Sobolev 空間と弱微分: 微分を積分の部分積分で定義し直し、2 乗可積分な弱微分をもつ関数の空間のこと。→ Sobolev 空間
• 調和関数: $\Delta u=0$ を満たす関数のこと。球の上の平均が中心の値に等しくなる。→ 調和関数
• 弱収束: すべての元との内積が収束する、という弱い意味の収束。→ 弱収束
• 凸関数: グラフの弦が常にグラフの上側にある関数。2 階微分の行列は半正定値になる。→ 凸関数
• 一様楕円型: 係数行列の固有値が定数 $\theta\gt0$ 以上で下から抑えられる、という方程式の条件（第 3 節で使う）。

1. 動機

前章では、Hilbert 空間の方法で弱解 $u\in H^1_0$ を作りました。しかし弱解は、方程式 $Lu=f$ を部分積分した形でしか満たしていません。2 階導関数が存在して方程式がほとんど至るところ成り立つか、さらに古典解になるかは、別に示す必要があります。これが正則性の問題です。

正則性は応用の上でも欠かせません。Dirichlet ラプラシアンの固有関数が滑らかであること、自己共役作用素の定義域が $H^2$ と一致すること（第 6 章や Schrödinger 作用素の理論で使う）、非線形方程式で弱解から古典解に戻ることは、すべてこの章の評価に依存します。

正則性の理論には 2 つの系統があります。

• $L^2$ 理論（第 3・4 節）: エネルギー評価に差分商を組み合わせ、$f\in H^k$ なら $u\in H^{k+2}$ を示します。Hilbert 空間の方法と相性がよい。
• Hölder 理論（第 5 節）: $f\in C^{k,\alpha}$ なら $u\in C^{k+2,\alpha}$ を示します（Schauder 評価）。$f\in C^0$ では $u\in C^2$ とは限らないので、Hölder 空間が「ちょうど 2 階分」の得をする正しい尺度です。Campanato の方法は、Hölder 連続性を積分の言葉で言い換えることで、$L^2$ のエネルギー評価だけから Hölder 評価を引き出します。

2. 準備：差分商

以下 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ は開集合、関数は実数値です。$V\Subset W$ は $\bar V$ がコンパクトで $W$ に含まれることを表します。$e_k$ を第 $k$ 単位ベクトル、$h\ne0$ について差分商を

$$D_k^hu(x)=\frac{u(x+he_k)-u(x)}h$$

と書きます（$\operatorname{dist}(x,\partial\Omega)\gt|h|$ で定義される）。$v^h(x)=v(x+he_k)$ とおくと、積の差分商は $D_k^h(vw)=v^hD_k^hw+(D_k^hv)\,w$ で、平行移動の不変性から、片方の台がコンパクトなら差分の部分積分 $\int v\,D_k^hw\,dx=-\int(D_k^{-h}v)\,w\,dx$ が成り立ちます。

補題 2.1（局所的な軟化）✓

$u\in H^1(\Omega)$、$W\Subset\Omega$ とする。$\varepsilon\lt\operatorname{dist}(W,\partial\Omega)$ なら $W$ 上で $\partial_k(\rho_\varepsilon*u)=\rho_\varepsilon*\partial_ku$ で、$\varepsilon\to0$ のとき $\rho_\varepsilon*u\to u$、$\nabla(\rho_\varepsilon*u)\to\nabla u$ が $L^2(W)$ で成り立つ。特に、台がコンパクトな $u\in H^1(\Omega)$ は $H^1_0(\Omega)$ に属する。

証明（補題 2.1）

$x\in W$ なら $y\mapsto\rho_\varepsilon(x-y)$ は $C_c^\infty(\Omega)$ に属するので、弱微分の定義（定義 2.1［Sobolev 空間］）から

$$\partial_k(\rho_\varepsilon*u)(x)=\int\partial_{x_k}\rho_\varepsilon(x-y)\,u(y)\,dy=-\int\partial_{y_k}\bigl[\rho_\varepsilon(x-y)\bigr]u(y)\,dy=\int\rho_\varepsilon(x-y)\,\partial_ku(y)\,dy$$

です。$u$、$\partial_ku$ を $\Omega$ の外で $0$ とおいた $L^2(\mathbb{R}^n)$ の関数に 補題 2.2［Schwartz 空間と緩増加超関数］ の 1 を使えば収束が出ます。台が $K\Subset\Omega$ なら、$\varepsilon$ が小さいとき $\rho_\varepsilon*u\in C_c^\infty(\Omega)$ で、$W$ を $K$ の近傍にとれば $H^1(\Omega)$ で $u$ に収束します。

∎

補題 2.2（差分商と弱微分）✓

1. $u\in H^1(\Omega)$、$V\Subset\Omega$、$0\lt|h|\lt\operatorname{dist}(V,\partial\Omega)$ なら $\|D_k^hu\|_{L^2(V)}\le\|\partial_ku\|_{L^2(\Omega)}$。
2. $u\in L^2(\Omega)$、$V\Subset\Omega$ とし、ある $C$ と $\delta\gt0$ について、$0\lt|h|\lt\delta$ で $\|D_k^hu\|_{L^2(V)}\le C$ とする。このとき $V$ 上で弱微分 $\partial_ku\in L^2(V)$ が存在し、$\|\partial_ku\|_{L^2(V)}\le C$。

証明（補題 2.2）

1. まず $u$ が $V$ の $|h|$ 近傍で $C^1$ なら、$D_k^hu(x)=\int_0^1\partial_ku(x+the_k)\,dt$ なので、Cauchy–Schwarz の不等式と Fubini の定理から $\int_V|D_k^hu|^2\le\int_0^1\int_V|\partial_ku(x+the_k)|^2dx\,dt\le\|\partial_ku\|_{L^2(\Omega)}^2$ です。一般の $u$ は、補題 2.1 で $\rho_\varepsilon*u$ に置き換えて $\varepsilon\to0$ とします。

2. $h_j\to0$ を $\|D_k^{h_j}u\|_{L^2(V)}\le C$ となるようにとると、定理 5.5［Hilbert 空間の基礎］ により部分列で $D_k^{h_j}u\rightharpoonup w$（$L^2(V)$ で弱収束、$\|w\|\le C$）です。$\varphi\in C_c^\infty(V)$ について、差分の部分積分で $\int u\,D_k^{-h_j}\varphi=-\int(D_k^{h_j}u)\varphi$ で、$D_k^{-h_j}\varphi\to\partial_k\varphi$ は一様収束（台は一定のコンパクト集合）なので、極限で $\int u\,\partial_k\varphi=-\int w\varphi$ です。よって $w=\partial_ku$ です。

∎

3. 内部 $H^2$ 正則性

前章と同じく $Lu=-\sum\partial_j(a^{ij}\partial_iu)+\sum b^i\partial_iu+cu$、$B$ をその双線形形式とし、$L$ は一様楕円型（定数 $\theta$）とします。

定理 3.1（内部 H² 正則性）✓

$a^{ij}\in C^1(\bar\Omega)$、$b^i,c\in L^\infty(\Omega)$、$f\in L^2(\Omega)$ とし、$u\in H^1(\Omega)$ がすべての $v\in H^1_0(\Omega)$ で $B[u,v]=\langle f,v\rangle$ を満たすとする（$u$ の境界値は問わない）。このとき $V\Subset\Omega$ について $u\in H^2(V)$ で、$V,\Omega$ と係数だけで決まる $C$ について

$$\|u\|_{H^2(V)}\le C\bigl(\|f\|_{L^2(\Omega)}+\|u\|_{H^1(\Omega)}\bigr).$$

さらに $Lu=f$ が $V$ 上ほとんど至るところ成り立つ。

証明の方針は次のとおりです。弱解はまだ 2 階微分をもつか分からないので、微分の代わりに差分商を方程式に施し、差分商が $h$ によらず一様に有界であることを示します。すると前節の補題の 2 により弱微分が存在します。試験関数に切り落とし関数 $\zeta^2$ を掛けるのは、台を $W$ の内側に収めて、部分積分で領域の境界の項が出ないようにするためです。

証明（定理 3.1）

$V\Subset W\Subset\Omega$ をとり、$\zeta\in C_c^\infty(W)$、$0\le\zeta\le1$、$V$ 上 $\zeta=1$ とします（補題 2.3［Schwartz 空間と緩増加超関数］）。1 階と 0 階の項を右辺に移し、$\tilde f=f-\sum b^i\partial_iu-cu\in L^2$ とおくと、$\sum_{i,j}\int a^{ij}\partial_iu\,\partial_jv=\int\tilde fv$（$v\in H^1_0$）です。

$|h|$ を小さくとり、$v=-D_k^{-h}(\zeta^2D_k^hu)$ とおきます。$\zeta^2D_k^hu$ は台がコンパクトな $H^1$ 関数なので、$v\in H^1_0(\Omega)$ です（補題 2.1）。

左辺。 差分の部分積分と積の差分商の公式から

$$\sum\int a^{ij}\partial_iu\,\partial_jv=\sum\int D_k^h(a^{ij}\partial_iu)\,\partial_j(\zeta^2D_k^hu)=A_1+A_2,$$$$A_1=\sum\int\zeta^2a^{ij,h}\,D_k^h\partial_iu\,D_k^h\partial_ju,\qquad A_2=\sum\int\Bigl[(D_k^ha^{ij})\partial_iu\,\zeta^2D_k^h\partial_ju+D_k^h(a^{ij}\partial_iu)\,2\zeta\partial_j\zeta\,D_k^hu\Bigr]$$

です（$a^{ij,h}=a^{ij}(\cdot+he_k)$）。楕円性から $A_1\ge\theta\int\zeta^2|D_k^h\nabla u|^2$ です。$|D_k^ha^{ij}|\le\|\nabla a^{ij}\|_\infty$ と 補題 2.2 の 1（$\int_W|D_k^hu|^2\le\|\nabla u\|^2$）を使い、$ab\le\varepsilon a^2+\frac1{4\varepsilon}b^2$ を $a=\zeta|D_k^h\nabla u|$ に対して使うと、$|A_2|\le\frac\theta2\int\zeta^2|D_k^h\nabla u|^2+C\|u\|_{H^1(\Omega)}^2$ です。

右辺。 補題 2.2 の 1 を $\zeta^2D_k^hu$ に使うと $\|v\|\le\|\partial_k(\zeta^2D_k^hu)\|\le C\bigl(\|\zeta D_k^h\nabla u\|+\|u\|_{H^1}\bigr)$ なので、

$$\Bigl|\int\tilde fv\Bigr|\le\frac\theta4\int\zeta^2|D_k^h\nabla u|^2+C\bigl(\|f\|^2+\|u\|_{H^1(\Omega)}^2\bigr)$$

です（$\|\tilde f\|\le\|f\|+C\|u\|_{H^1}$）。

結論。 合わせて $\int_V|D_k^h\nabla u|^2\le\int\zeta^2|D_k^h\nabla u|^2\le C(\|f\|^2+\|u\|_{H^1(\Omega)}^2)$ が、小さなすべての $h$ と $k$ で成り立ちます。補題 2.2 の 2 を $\partial_iu$ に使えば $\partial_k\partial_iu\in L^2(V)$ と評価が出ます。最後に、$v\in C_c^\infty(V)$ について弱形式を部分積分し直す（$a^{ij}\partial_iu\in H^1(V)$ なので積の微分が使える）と $\int(Lu-f)v=0$ で、補題 2.2［Schwartz 空間と緩増加超関数］ の 3 から $Lu=f$ a.e. です。

∎

同じ議論を、方程式を $x_k$ で微分したもの（$\partial_ku$ の満たす方程式）に繰り返すと、$a^{ij},b^i,c\in C^{m+1}$、$f\in H^m$ なら $u\in H^{m+2}_{\mathrm{loc}}$ が帰納的に出ます。係数と $f$ が $C^\infty$ なら、Sobolev 埋め込み（定理 4.1［Sobolev 空間］）と合わせて $u\in C^\infty(\Omega)$ です。とくに Dirichlet ラプラシアンの固有関数は $\Omega$ の内部で $C^\infty$ です。

境界まで含めた $H^2$ 正則性には境界の滑らかさが要ります。境界を局所的に平らにして接線方向にだけ差分商を使い、法線方向の 2 階導関数は方程式から求めるのが標準的な方法です（Evans 6.3.2 節）。この記事では証明しません。次節では、凸領域に特有の別の機構を見ます。

4. 凸領域の $H^2$ 評価

凸領域の境界の点 p での座標。境界は凸関数 x_n = ψ(x′) のグラフで、領域はその上側にある。D²ψ(0) のトレースが境界項の符号を決める

定理 4.1（凸領域の H² 評価（Grisvard））✓

$\Omega$ を滑らかな境界をもつ有界な凸領域とする。$u\in C^3(\bar\Omega)$ が $\partial\Omega$ 上で $u=0$ を満たすなら

$$\int_\Omega|D^2u|^2dx\le\int_\Omega(\Delta u)^2dx,\qquad|D^2u|^2=\sum_{i,j}(\partial_i\partial_ju)^2 .$$

証明の方針は、$(\Delta u)^2-|D^2u|^2$ をあるベクトル場の発散として書き、発散定理で境界の積分に直して、その符号を調べることです。符号を決めるのが領域の凸性で、境界の曲がり方が $\Delta u$ と $D^2u$ の差になって現れます。

証明（定理 4.1）

恒等式。 $u_i=\partial_iu$ と書き、ベクトル場 $Y_i=u_i\,\Delta u-\sum_ju_j\,\partial_ju_i$ を考えます。$u\in C^3$ なので $Y\in C^1(\bar\Omega)$ で、3 階導関数の項が打ち消し合って

$$\operatorname{div}Y=\sum_{i,j}\bigl(\partial_iu_i\,\partial_ju_j-\partial_iu_j\,\partial_ju_i\bigr)=(\Delta u)^2-|D^2u|^2$$

です（$\partial_iu_j=\partial_ju_i$）。発散定理（補題 2.1［ラプラス方程式と調和関数］）から

$$\int_\Omega(\Delta u)^2-\int_\Omega|D^2u|^2=\int_{\partial\Omega}\Bigl(\partial_\nu u\,\Delta u-\nu\cdot D^2u\,\nabla u\Bigr)dS .$$

境界項の計算。 $\partial\Omega$ 上で $u=0$ なので $\nabla u$ は法線方向を向き、$\nabla u=(\partial_\nu u)\nu$ です。よって被積分関数は $\partial_\nu u\,\bigl(\Delta u-\partial_\nu^2u\bigr)$（$\partial_\nu^2u=\nu\cdot D^2u\,\nu$）です。境界の点 $p$ を固定し、回転と平行移動で $p=0$、$\nu(p)=-e_n$ とし、$p$ の近くで $\Omega=\{x_n\gt\psi(x')\}$（$\psi(0)=0$、$\nabla\psi(0)=0$）と表します。$\Omega$ が凸なので $\psi$ は凸関数で、$D^2\psi(0)$ は半正定値です。$u(x',\psi(x'))=0$ を $x_\alpha$（$\alpha\lt n$）で 2 回微分して $x'=0$ を代入すると

$$\partial_\alpha^2u(0)+\partial_nu(0)\,\partial_\alpha^2\psi(0)=0$$

です（$\nabla\psi(0)=0$ により、1 階微分を含む項は消える）。$\alpha$ について足すと $\Delta u-\partial_n^2u=-\partial_nu\,\operatorname{tr}D^2\psi(0)$ で、$\partial_\nu u=-\partial_nu$、$\partial_\nu^2u=\partial_n^2u$ なので、被積分関数は $p$ で

$$\partial_\nu u\bigl(\Delta u-\partial_\nu^2u\bigr)=(\partial_\nu u)^2\operatorname{tr}D^2\psi(0)\ge0$$

です。$\Delta u$、$\partial_\nu u$、$\nu\cdot D^2u\,\nabla u$ は回転で不変なので、この計算は元の座標でも正しく、境界項は $0$ 以上です。

∎

$\operatorname{tr}D^2\psi(0)$ は $p$ での平均曲率の $n-1$ 倍です。境界項は「境界が内側に曲がっているほど $D^2u$ を $\Delta u$ より小さくする」ことを言っています。凸でない領域（たとえば内角が $\pi$ を超える角をもつ多角形）では、$-\Delta u=f\in L^2$ の解が $H^2$ に入らないことがあります。

注意 4.2（一般の凸領域への拡張（主張））

Grisvard の定理は、境界の滑らかさを仮定しない形で述べられます。有界な凸領域 $\Omega$ と $f\in L^2(\Omega)$ について、$-\Delta u=f$ の弱解 $u\in H^1_0(\Omega)$ は $H^2(\Omega)$ に属し、$\|D^2u\|_{L^2}\le\|f\|_{L^2}$ を満たす。 証明は、$\Omega$ を内側から滑らかな凸領域 $\Omega_k$ で近似し、各 $\Omega_k$ で $f$ を滑らかにしたものについて境界までの正則性（$u_k\in C^3(\bar\Omega_k)$、滑らかな領域での大域正則性の定理）を使って 定理 4.1 を適用し、一様な $H^2$ 評価から弱極限をとるものです。この記事は滑らかな領域での大域正則性を証明していないので、ここでは主張として述べます（P. Grisvard, Elliptic Problems in Nonsmooth Domains, Theorem 3.2.1.2）。

5. Campanato の方法による Schauder 評価

5.1. Hölder 連続性の積分による特徴づけ

定義 5.1（Hölder 空間）↗

$U\subset\mathbb{R}^n$ を開集合、$0\lt\alpha\le1$、$k\ge0$ を整数とする。$U$ 上の関数 $g$ の Hölder 半ノルムを

$$[g]_{\alpha;U}=\sup_{x\ne y\in U}\frac{|g(x)-g(y)|}{|x-y|^\alpha}$$

と置く。$g\in C^k(U)$ で、多重指数 $|\beta|\le k$ のすべての偏導関数 $\partial^\beta g$ が $U$ 上有界かつ一様連続（したがって $\bar U$ へ連続に延びる）であり、$|\beta|=k$ について $[\partial^\beta g]_{\alpha;U}\lt\infty$ となるもの全体を $C^{k,\alpha}(\bar U)$ と書き、Hölder 空間という。ノルムは

$$\|g\|_{C^{k,\alpha}(\bar U)}=\sum_{|\beta|\le k}\sup_U|\partial^\beta g|+\sum_{|\beta|=k}[\partial^\beta g]_{\alpha;U}$$

とする。$\alpha=1$ の $C^{0,1}(\bar U)$ は有界な Lipschitz 関数の空間である。$U$ の各点がある開球 $B$（$\bar B\subset U$）を近傍にもち、$g|_B\in C^{k,\alpha}(\bar B)$ となるとき、$g\in C^{k,\alpha}(U)$（局所 Hölder 空間）と書く。

$C^{k,\alpha}$ は $C^k$ と $C^{k+1}$ の間を指数 $\alpha$ で細かく刻む尺度です。$f\in C^{k,\alpha}$ から $u\in C^{k+2,\alpha}$ を導くのが、この節の Schauder 評価の考え方です。

Hölder 半ノルム $[g]_{\alpha;U}$ は 定義 5.1 のとおりです。$g_{x,\rho}=\frac1{\omega_n\rho^n}\int_{B(x,\rho)}g$ を球平均とします。値がベクトルの場合は成分ごとに考えます。次の事実を何度も使います: 定数 $c$ のうち $\int_{B}|g-c|^2$ を最小にするのは $c=g_B$（球 $B$ 上の平均）です（$c$ についての 2 次式の平方完成）。特に $\int_{B(x,\rho)}|g-g_{x,\rho}|^2$ は $\rho$ について単調増加です。

定理 5.2（Campanato の定理）✓

$0\lt\alpha\le1$、$R\gt0$、$g\in L^2(B(x_0,2R))$ とし、ある $M$ について

$$\int_{B(x,\rho)}|g-g_{x,\rho}|^2dy\le M^2\rho^{n+2\alpha}\qquad(x\in B(x_0,R),\ 0\lt\rho\le R)$$

が成り立つとする。このとき $g$ は $B(x_0,R)$ 上で連続な代表元をもち、$[g]_{\alpha;B(x_0,R)}\le C(n,\alpha)\,M$ である。

この定理のねらいは、積分の評価から点ごとの評価を取り戻すことです。Schauder 評価で実際に手に入るのは球の上の積分の評価ですが、示したいのは Hölder 連続性（各点の値の差の評価）です。証明は、半径を半分ずつ縮めた球の平均の差を足し合わせて、平均が各点で収束することを示し、その極限の差を評価する流れです。

証明（定理 5.2）

平均の極限。 $x\in B(x_0,R)$、$\rho/2\le r\le\rho\le R$ なら、Cauchy–Schwarz の不等式で

$$|g_{x,r}-g_{x,\rho}|^2\le\frac1{\omega_nr^n}\int_{B(x,r)}|g-g_{x,\rho}|^2\le\frac{2^n}{\omega_n\rho^n}M^2\rho^{n+2\alpha}$$

なので $|g_{x,r}-g_{x,\rho}|\le c_1M\rho^\alpha$（$c_1=(2^n/\omega_n)^{1/2}$）です。$\rho_j=2^{-j}\rho$ について足し合わせると、$r\le\rho$ のとき $|g_{x,r}-g_{x,\rho}|\le c_1M\rho^\alpha\sum_{j\ge0}2^{-j\alpha}=c_2M\rho^\alpha$ です。（$\rho_{j+1}\lt r\le\rho_j$ となる $j$ をとり、$g_{x,r}$ と $g_{x,\rho_j}$、$g_{x,\rho_i}$ と $g_{x,\rho_{i+1}}$ の差をそれぞれ評価する。）これを $\rho=\max(r,r')$ に使えば $|g_{x,r}-g_{x,r'}|\le2c_2M\max(r,r')^\alpha$ なので、極限 $\tilde g(x)=\lim_{r\to0}g_{x,r}$ が存在し、$|\tilde g(x)-g_{x,\rho}|\le c_2M\rho^\alpha$ です。

代表元であること。 上の評価から $g_{\cdot,r}\to\tilde g$ は $B(x_0,R)$ 上一様です。一方 $g_{\cdot,r}=\chi_r*g$（$\chi_r=\mathbf 1_{B(0,r)}/(\omega_nr^n)$）で、補題 2.2［Schwartz 空間と緩増加超関数］ の 1 の証明は $\rho_\varepsilon$ を非負で積分 $1$、台が $\bar B(0,r)$ の $\chi_r$ に替えてもそのまま通るので、$\chi_r*g\to g$ は $L^2(B(x_0,R))$ で成り立ちます。よって $\tilde g=g$ a.e. です。

Hölder 評価。 $x,y\in B(x_0,R)$、$\rho=|x-y|\le R/2$ とします。$B(x,\rho)\subset B(y,2\rho)$ なので

$$|g_{x,\rho}-g_{y,2\rho}|^2\le\frac1{\omega_n\rho^n}\int_{B(y,2\rho)}|g-g_{y,2\rho}|^2\le\frac{2^{n+2\alpha}}{\omega_n}M^2\rho^{2\alpha}$$

で、$|\tilde g(x)-\tilde g(y)|\le|\tilde g(x)-g_{x,\rho}|+|g_{x,\rho}-g_{y,2\rho}|+|g_{y,2\rho}-\tilde g(y)|\le c_3M\rho^\alpha$ です。$|x-y|\gt R/2$ なら、線分 $[x,y]\subset B(x_0,R)$ を長さ $R/2$ 以下の 4 つ以下の区間に分けて足せば、$4c_3M|x-y|^\alpha$ 以下です。

∎

逆に $[g]_{\alpha}\le M$ なら $\int_{B(x,\rho)}|g-g_{x,\rho}|^2\le\int_{B(x,\rho)}|g-g(x)|^2\le\omega_nM^2\rho^{n+2\alpha}$ なので、この条件は Hölder 連続性と同値です。積分の条件は、エネルギー評価と直接結びつくのが利点です。

5.2. 調和関数の減衰と反復補題

補題 5.3（Weyl の補題）✓

$v\in H^1(B)$（$B$ は球）がすべての $\varphi\in C_c^\infty(B)$ で $\int_B\nabla v\cdot\nabla\varphi=0$ を満たすなら、$v$ は $B$ 上の調和関数（に a.e. で等しい）である。

証明（補題 5.3）

$v_\varepsilon=\rho_\varepsilon*v$ は $B_\varepsilon=\{x\in B\mid\operatorname{dist}(x,\partial B)\gt\varepsilon\}$ で $C^\infty$ で、補題 2.1 の計算と同様に $\Delta v_\varepsilon(x)=-\int\nabla_y\bigl[\rho_\varepsilon(x-y)\bigr]\cdot\nabla v(y)\,dy=0$ です（$\rho_\varepsilon(x-\cdot)\in C_c^\infty(B)$）。$K\Subset B$ と $r\lt\operatorname{dist}(K,\partial B)/2$ をとると、$\varepsilon,\delta\lt r$ で $v_\varepsilon-v_\delta$ は $K$ の $r$ 近傍で調和なので、命題 3.4［ラプラス方程式と調和関数］ の第 1 式と Cauchy–Schwarz の不等式から $\sup_K|v_\varepsilon-v_\delta|\le C\|v_\varepsilon-v_\delta\|_{L^2(B)}\to0$ です。よって $v_\varepsilon$ は $K$ 上一様に連続関数 $\bar v$ に収束し、$L^2$ の極限 $v$ と a.e. で一致します。$\bar v$ は平均値の性質をもつ関数の一様極限なので平均値の性質をもち、定理 3.3［ラプラス方程式と調和関数］ により調和です。

∎

補題 5.4（調和関数の勾配の減衰）✓

$v$ が $B(x_0,R)$ で調和で $\nabla v\in L^2(B(x_0,R))$ なら、$0\lt\rho\le R$ について

$$\int_{B(x_0,\rho)}|\nabla v-(\nabla v)_{x_0,\rho}|^2\le C(n)\Bigl(\frac\rho R\Bigr)^{n+2}\int_{B(x_0,R)}|\nabla v-(\nabla v)_{x_0,R}|^2 .$$

証明（補題 5.4）

$\rho\ge R/4$ なら、球平均の最小性と積分範囲の包含から $C=4^{n+2}$ で成り立ちます。$\rho\lt R/4$ とし、$h=\partial_kv-c$（$c=(\partial_kv)_{x_0,R}$）とおくと $h$ は調和です。$z\in B(x_0,R/2)$ なら 命題 3.4［ラプラス方程式と調和関数］ と Cauchy–Schwarz の不等式で $|h(z)|\le(\omega_n(R/2)^n)^{-1/2}\|h\|_{L^2(B(x_0,R))}$、$x\in B(x_0,R/4)$ なら同じ命題の第 2 式（半径 $R/4$）で $|\nabla h(x)|\le\frac{4n^{3/2}}R\sup_{B(x_0,R/2)}|h|$ です。合わせて $\sup_{B(x_0,R/4)}|\nabla h|^2\le CR^{-n-2}\|h\|_{L^2(B(x_0,R))}^2$ です。$x\in B(x_0,\rho)$ では $|h(x)-h(x_0)|\le\rho\sup|\nabla h|$ なので

$$\int_{B(x_0,\rho)}|\partial_kv-(\partial_kv)_{x_0,\rho}|^2\le\int_{B(x_0,\rho)}|h-h(x_0)|^2\le\omega_n\rho^{n+2}\sup_{B(x_0,R/4)}|\nabla h|^2\le C\Bigl(\frac\rho R\Bigr)^{n+2}\int_{B(x_0,R)}|h|^2$$

です。$k$ について足せば主張です。

∎

補題 5.5（反復補題）✓

$\phi$ を $(0,R_0]$ 上の非負の単調増加関数とし、定数 $A\ge1$、$B\ge0$、$0\lt b\lt a$ について

$$\phi(\rho)\le A\Bigl(\frac\rho R\Bigr)^a\phi(R)+BR^b\qquad(0\lt\rho\le R\le R_0)$$

が成り立つとする。このとき $C=C(A,a,b)$ があって、$\phi(\rho)\le C\bigl[(\rho/R)^b\phi(R)+B\rho^b\bigr]$（$0\lt\rho\le R\le R_0$）。

この補題は、Schauder 評価の証明の最後の段で使います。そこで得られる不等式は、半径 $R$ から $\rho$ へ縮めるたびに減衰が $(\rho/R)^a$ だけ効き、誤差が $R^b$ だけ加わる形です。補題はこれを繰り返して、小さな半径でも $\rho^b$ の減衰（Campanato の条件）にまとめ直します。証明は、一定の比 $\tau$ ずつ半径を縮めて不等式を使い続けるものです。

証明（補題 5.5）

$c=(a+b)/2$ とし、$\tau\in(0,1)$ を $A\tau^a\le\tau^c$ となるようにとります（$\tau^{a-c}\le1/A$）。仮定を $\rho=\tau R$ に使うと $\phi(\tau R)\le\tau^c\phi(R)+BR^b$ で、これを $R,\tau R,\tau^2R,\ldots$ に繰り返すと

$$\phi(\tau^kR)\le\tau^{kc}\phi(R)+BR^b\sum_{j=0}^{k-1}\tau^{c(k-1-j)}\tau^{jb}\le\tau^{kb}\phi(R)+\frac{BR^b\tau^{(k-1)b}}{1-\tau^{c-b}}$$

です。$\tau^{k+1}R\lt\rho\le\tau^kR$ なら、単調性と $\tau^{kb}\le\tau^{-b}(\rho/R)^b$ から $\phi(\rho)\le\phi(\tau^kR)\le\tau^{-b}(\rho/R)^b\phi(R)+\frac{\tau^{-2b}}{1-\tau^{c-b}}B\rho^b$ です。

∎

5.3. Schauder 評価

定理 5.6（Schauder 評価（Campanato の方法））✓

$0\lt\alpha\lt1$、$B_1=B(0,1)$ とし、$F\in C^{0,\alpha}(\bar B_1;\mathbb{R}^n)$、$u\in H^1(B_1)$ がすべての $\varphi\in C_c^\infty(B_1)$ で

$$\int_{B_1}\nabla u\cdot\nabla\varphi\,dx=\int_{B_1}F\cdot\nabla\varphi\,dx$$

を満たす（$\Delta u=\operatorname{div}F$ の弱解）とする。このとき $\nabla u$ は $B_{1/2}$ 上で連続な代表元をもち、

$$[\nabla u]_{\alpha;B_{1/2}}\le C(n,\alpha)\bigl(\|\nabla u\|_{L^2(B_1)}+[F]_{\alpha;B_1}\bigr).$$

凍結の考え方。小さな球 B(x₀, ρ) を含む球 B(x₀, R) の中で、u を調和関数 v と誤差 w の和に分ける。w は右辺 F − F(x₀) だけを受け持つ

証明の方針は、各点 $x_0$ の近くで右辺 $F$ を定数に置き換えた方程式（解は調和関数）と比べることです。$u$ の勾配の「平均からのずれ」が、小さい球ほどどう減るかを、調和関数の減衰と誤差の評価に分けて調べます。

証明（定理 5.6）

$x_0\in B_{1/2}$、$0\lt R\le1/2$ を固定し、$B_R=B(x_0,R)$ と書きます。

分解。 $H^1_0(B_R)$ 上の汎関数 $\varphi\mapsto\int_{B_R}(F-F(x_0))\cdot\nabla\varphi$ は有界なので、Lax–Milgram の定理（定理 3.2［楕円型方程式の弱解と変分法］、補題 2.1［楕円型方程式の弱解と変分法］ により $\langle\nabla\cdot,\nabla\cdot\rangle$ は $H^1_0$ の同値な内積）で $w\in H^1_0(B_R)$ を

$$\int_{B_R}\nabla w\cdot\nabla\varphi=\int_{B_R}(F-F(x_0))\cdot\nabla\varphi\qquad(\varphi\in H^1_0(B_R))$$

となるようにとれます。$\varphi=w$ として Cauchy–Schwarz の不等式を使うと

$$\int_{B_R}|\nabla w|^2\le\int_{B_R}|F-F(x_0)|^2\le\omega_n[F]_\alpha^2R^{n+2\alpha}$$

です。$v=u-w$ は、$\varphi\in C_c^\infty(B_R)$ について $\int\nabla v\cdot\nabla\varphi=\int F\cdot\nabla\varphi-\int(F-F(x_0))\cdot\nabla\varphi=F(x_0)\cdot\int\nabla\varphi=0$ を満たすので、補題 5.3 により $B_R$ で調和です。

減衰の不等式。 $\phi(\rho)=\int_{B(x_0,\rho)}|\nabla u-(\nabla u)_{x_0,\rho}|^2$ とおきます。$\nabla u=\nabla v+\nabla w$ と球平均の最小性、補題 5.4 から、$\rho\le R$ で

$$\phi(\rho)\le2\int_{B_\rho}|\nabla v-(\nabla v)_\rho|^2+2\int_{B_\rho}|\nabla w|^2\le2C\Bigl(\frac\rho R\Bigr)^{n+2}\int_{B_R}|\nabla v-(\nabla v)_R|^2+2\int_{B_R}|\nabla w|^2$$

で、$\int_{B_R}|\nabla v-(\nabla v)_R|^2\le\int_{B_R}|\nabla v-(\nabla u)_R|^2\le2\phi(R)+2\int_{B_R}|\nabla w|^2$ を代入すると

$$\phi(\rho)\le4C\Bigl(\frac\rho R\Bigr)^{n+2}\phi(R)+C'[F]_\alpha^2R^{n+2\alpha}$$

です。

反復と結論。 補題 5.5（$a=n+2$、$b=n+2\alpha$、$R_0=1/2$）から $\phi(\rho)\le C\bigl[(\rho/R)^{n+2\alpha}\phi(R)+[F]_\alpha^2\rho^{n+2\alpha}\bigr]$ で、$R=1/2$ とおき $\phi(1/2)\le\int_{B_1}|\nabla u|^2$ を使うと、全ての $x_0\in B_{1/2}$、$\rho\le1/2$ で

$$\int_{B(x_0,\rho)}|\nabla u-(\nabla u)_{x_0,\rho}|^2\le C\bigl(\|\nabla u\|_{L^2(B_1)}^2+[F]_\alpha^2\bigr)\rho^{n+2\alpha}$$

です。定理 5.2（中心 $0$、$R=1/2$、$B(0,1)\subset B_1$）を $\nabla u$ の各成分に使えば主張です。

∎

証明の構造は「凍結」です。各点 $x_0$ の近くで、右辺を定数 $F(x_0)$ に凍結した方程式の解（調和関数 $v$）は $\rho^{n+2}$ という最良の減衰をもち、凍結の誤差 $w$ は $F$ の Hölder 連続性のおかげで $R^{n+2\alpha}$ しか寄与しません。$\alpha\lt1$ が必要なのは反復補題の $b\lt a$ のためで、$\alpha=1$（Lipschitz）では結論が成り立たないことが知られています。

系 5.7（Poisson 方程式の Schauder 評価）✓

$0\lt\alpha\lt1$、$f\in C^{0,\alpha}(\bar B_1)$ とし、$u\in H^1(B_1)$ が $-\Delta u=f$ の弱解（$\int\nabla u\cdot\nabla\varphi=\int f\varphi$、$\varphi\in C_c^\infty(B_1)$）であるとする。このとき 2 階の弱微分 $D^2u$ は $B_{1/4}$ 上で $\alpha$-Hölder 連続な代表元をもち、$[D^2u]_{\alpha;B_{1/4}}\le C(n,\alpha)\bigl(\|f\|_{C^{0,\alpha}(\bar B_1)}+\|u\|_{H^1(B_1)}\bigr)$。ここで $\|f\|_{C^{0,\alpha}}=\sup|f|+[f]_\alpha$ である。

証明（系 5.7）

定理 3.1（$a^{ij}=\delta_{ij}$、$b=c=0$、$\Omega=B_1$、$V=B_{3/4}$）から $u\in H^2(B_{3/4})$、$\|D^2u\|_{L^2(B_{3/4})}\le C(\|f\|_{L^2}+\|u\|_{H^1})$ です。$U_k=\partial_ku\in H^1(B_{3/4})$ について、$\varphi\in C_c^\infty(B_{3/4})$ とすると、弱微分の定義と弱形式（試験関数 $\partial_k\varphi$）から

$$\int\nabla U_k\cdot\nabla\varphi=-\int\nabla u\cdot\nabla\partial_k\varphi=-\int f\,\partial_k\varphi=\int(-f\,e_k)\cdot\nabla\varphi$$

です。$U_k$ は $F=-fe_k\in C^{0,\alpha}$ について 定理 5.6 の方程式を $B_{3/4}$ で満たすので、相似変換 $x\mapsto\frac34x$ で $B_1$ に移して定理を使えば、$\nabla U_k$ は $B_{3/8}\supset B_{1/4}$ 上で Hölder 連続で、評価が出ます。

∎

2 階の弱微分が連続なら $u$ は古典的な意味で $C^2$ で、$-\Delta u=f$ が各点で成り立ちます。第 1 章で $f\in C_c^2$ と仮定して $\Phi*f\in C^2$ を示しましたが、この系により $f$ が Hölder 連続なら十分です。変数係数 $a^{ij}\in C^{0,\alpha}$ の場合も、係数を $x_0$ で凍結して定数係数の方程式（線形変換で Laplace 方程式に帰着）と比べる同じ方法で $\nabla u\in C^{0,\alpha}$ が示されます。ただし凍結の誤差 $\int_{B_R}|(a(x)-a(x_0))\nabla u|^2\le CR^{2\alpha}\int_{B_R}|\nabla u|^2$ を扱うために、先に $\int_{B_\rho}|\nabla u|^2\le C\rho^{n-2+2\beta}$ の形の評価を同じ反復で得る必要があります（Giaquinta–Martinazzi の第 5 章）。

6. 弱最大値原理

補題 6.1（正の部分の弱微分）✓

$u\in H^1(\Omega)$ なら $u^+=\max(u,0)\in H^1(\Omega)$ で、$\nabla u^+=\mathbf 1_{\{u\gt0\}}\nabla u$ a.e. である。さらに $u\in H^1_0(\Omega)$ なら $u^+\in H^1_0(\Omega)$ である。

証明（補題 6.1）

連鎖律。 $G\in C^1(\mathbb{R})$、$G'$ は有界、$G(0)=0$ とすると、$G(u)\in H^1(\Omega)$ で $\nabla G(u)=G'(u)\nabla u$ です。実際、$W\Subset\Omega$ 上で 補題 2.1 の $u_k=\rho_{1/k}*u$ をとり、$L^2(W)$ で $u_k\to u$、$\nabla u_k\to\nabla u$、さらに部分列で a.e. 収束とします（$\|u_{k_j}-u\|_{L^2(W)}\lt2^{-j}$ となる部分列を取ると、単調収束定理とミンコフスキーの不等式から $\|\sum_j|u_{k_j}-u|\|_{L^2(W)}\le\sum_j2^{-j}\lt\infty$ なので $\sum_j|u_{k_j}-u|$ はほとんど至るところ有限で、したがって $u_{k_j}\to u$ a.e. です）。$\varphi\in C_c^\infty(W)$ について古典的に $\int G(u_k)\partial_i\varphi=-\int G'(u_k)\partial_iu_k\,\varphi$ で、$|G(u_k)-G(u)|\le\sup|G'|\,|u_k-u|$、$|G'(u_k)\partial_iu_k-G'(u)\partial_iu|\le\sup|G'|\,|\partial_iu_k-\partial_iu|+|G'(u_k)-G'(u)||\partial_iu|$ で、最後の項は優収束定理で $L^1(W)$ で $0$ に収束します。極限で $\int G(u)\partial_i\varphi=-\int G'(u)\partial_iu\,\varphi$ です。

正の部分。 $G_\varepsilon(t)=\sqrt{t^2+\varepsilon^2}-\varepsilon$（$t\gt0$）、$G_\varepsilon(t)=0$（$t\le0$）は連鎖律の条件を満たし、$\varepsilon\to0$ で $G_\varepsilon(u)\to u^+$、$G_\varepsilon'(u)\nabla u\to\mathbf 1_{\{u\gt0\}}\nabla u$ が各点で、優関数 $|u|$、$|\nabla u|$ つきで成り立ちます。弱微分の等式で極限をとれば前半です。

$H^1_0$ の場合。 $\varphi_k\in C_c^\infty(\Omega)$ を $H^1$ で $u$ に収束するようにとると、$\varphi_k^+$ は台がコンパクトな $H^1$ 関数なので 補題 2.1 から $H^1_0$ に属し、前半から $\|\varphi_k^+\|_{H^1}\le\|\varphi_k\|_{H^1}$ は有界です。$H^1_0$ で弱収束する部分列の極限を $w$ とすると、$|\varphi_k^+-u^+|\le|\varphi_k-u|$ から $\varphi_k^+\to u^+$（$L^2$）なので、$w=u^+$ です。よって $u^+\in H^1_0(\Omega)$ です。

∎

定理 6.2（弱最大値原理）✓

$\Omega$ を有界な開集合、$L=-\sum\partial_j(a^{ij}\partial_i\,\cdot)+c$ を一様楕円型（$a^{ij},c\in L^\infty$）で $c\ge0$ とする。$u\in H^1(\Omega)$ が、$v\ge0$ を満たすすべての $v\in H^1_0(\Omega)$ について $B[u,v]\le0$（弱い意味で $Lu\le0$）を満たし、$u^+\in H^1_0(\Omega)$（弱い意味で境界上 $u\le0$）であるとする。このとき $\Omega$ 上 a.e. で $u\le0$ である。

証明（定理 6.2）

$v=u^+\ge0$ を代入します。補題 6.1 から $\partial_iu\,\partial_ju^+=\partial_iu^+\,\partial_ju^+$、$uu^+=(u^+)^2$ なので

$$0\ge B[u,u^+]=\int\Bigl(\sum a^{ij}\partial_iu^+\partial_ju^++c(u^+)^2\Bigr)\ge\theta\|\nabla u^+\|^2$$

です。よって $\nabla u^+=0$ で、$u^+\in H^1_0$ なので Poincaré の不等式（補題 2.1［楕円型方程式の弱解と変分法］）から $u^+=0$ です。

∎

$M\ge0$ について $(u-M)^+\in H^1_0$ なら、$c\ge0$ から $L(u-M)=Lu-cM\le0$ なので $u\le M$ です。これが古典的な $\sup_\Omega u\le\sup_{\partial\Omega}u^+$ の弱い版です。$-\Delta u=f\ge0$ の弱解 $u\in H^1_0$ は、$-u$ に定理を使って $u\ge0$ です（正値性の保存）。1 階の項 $b^i\partial_iu$ がある場合も同じ結論が成り立ちますが、試験関数を工夫する必要があります（Gilbarg–Trudinger, Theorem 8.1）。

7. Allegretto–Piepenbrink の定理

Schrödinger 作用素 $-\Delta+V$ が下に有界かどうかを、正の解の存在で判定するのがこの節の定理です。$\Omega\subset\mathbb{R}^n$ を開集合、$V$ を $\Omega$ 上の実数値連続関数とし、$\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ について $h[\varphi]=\int_\Omega\bigl(|\nabla\varphi|^2+V\varphi^2\bigr)dx$ とおきます。

定理 7.1（Allegretto–Piepenbrink の定理）✓

$E\in\mathbb{R}$ とし、$\psi\in C^2(\Omega)$ が $\Omega$ 上で $\psi\gt0$、$-\Delta\psi+V\psi\ge E\psi$ を満たすとする。このとき、すべての $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ で

$$h[\varphi]=\int_\Omega\psi^2\Bigl|\nabla\frac\varphi\psi\Bigr|^2dx+\int_\Omega\frac{\varphi^2}\psi\bigl(-\Delta\psi+V\psi\bigr)dx\ge E\int_\Omega\varphi^2dx$$

が成り立つ。

証明（定理 7.1）

$g=\varphi/\psi\in C_c^2(\Omega)$ とおくと $\nabla\varphi=\psi\nabla g+g\nabla\psi$ なので

$$|\nabla\varphi|^2=\psi^2|\nabla g|^2+\psi\nabla\psi\cdot\nabla(g^2)+g^2|\nabla\psi|^2$$

です。$g^2$ の台はコンパクトなので、中央の項を部分積分すると $\int\psi\nabla\psi\cdot\nabla(g^2)=-\int g^2\bigl(|\nabla\psi|^2+\psi\Delta\psi\bigr)$ で、$|\nabla\psi|^2$ の項が打ち消し合って $\int|\nabla\varphi|^2=\int\psi^2|\nabla g|^2-\int g^2\psi\Delta\psi$ です。$\int V\varphi^2=\int g^2\psi\cdot V\psi$ を足せば等式で、第 1 項は非負、第 2 項は仮定から $E\int g^2\psi^2=E\int\varphi^2$ 以上です。

∎

等式の部分は基底状態変換と呼ばれ、$\psi$ が固有関数（$-\Delta\psi+V\psi=E\psi$）なら $h[\varphi]-E\|\varphi\|^2=\int\psi^2|\nabla(\varphi/\psi)|^2$ です。したがって、$\psi$ 自身が二次形式の（閉包の）定義域に入る正の固有関数なら、その固有値 $E$ は $h[\psi]/\|\psi\|^2=E$ から二次形式 $h[\varphi]/\|\varphi\|^2$ の下限以下であり、定理と合わせて下限そのものです。下に有界な二次形式からは Friedrichs 拡大（定理 6.1［自己共役性の判定］。下に有界な二次形式を、下限を保ったまま自己共役作用素に結びつける標準的な方法）で $-\Delta+V\ge E$ の自己共役作用素が定まります。

例 7.2（Hardy の不等式）

$n\ge3$、$\Omega=\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$、$\psi(x)=|x|^{-(n-2)/2}$ とします。$\Delta|x|^a=a(a+n-2)|x|^{a-2}$ に $a=-\frac{n-2}2$ を入れると $-\Delta\psi=\frac{(n-2)^2}4|x|^{-2}\psi$ です。$V=-\frac{(n-2)^2}{4|x|^2}$、$E=0$ として 定理 7.1 を使うと

$$\int_{\mathbb{R}^n}|\nabla\varphi|^2dx\ge\frac{(n-2)^2}4\int_{\mathbb{R}^n}\frac{\varphi^2}{|x|^2}dx\qquad(\varphi\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n\setminus\{0\}))$$

です。定数 $\frac{(n-2)^2}4$ は最良であることが知られています（$\psi$ を切り落として近似すると比が定数に近づく）。$\psi$ は原点の近くでちょうど $\nabla\psi\notin L^2$ となる境目の関数です。

注意 7.3（逆向きの主張）

逆も成り立ちます。$\Omega$ が連結で、$V\in L^\infty_{\mathrm{loc}}(\Omega)$、すべての $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ で $h[\varphi]\ge E\|\varphi\|^2$ なら、$-\Delta\psi+V\psi=E\psi$ の正の弱解 $\psi$ が存在する。 証明は、$\Omega$ を有界な部分領域 $\Omega_k$ で内側から近似し、各 $\Omega_k$ の Dirichlet 問題の正の解を最大値原理で作って 1 点で正規化し、Schrödinger 作用素に対する Harnack の不等式（局所一様な上下の評価）で極限をとるものです。この Harnack の不等式（Moser の反復による）をこの記事では証明しないので、主張として述べます（H. L. Cycon, R. G. Froese, W. Kirsch, B. Simon, Schrödinger Operators, Theorem 2.12）。$V$ が連続でも、ここで要る Harnack の不等式は第 1 章の平均値の議論だけでは得られません。

8. 演習

演習 8.1易

$\varphi\in C_c^\infty((0,\pi))$ なら $\int_0^\pi\varphi'^2dx\ge\int_0^\pi\varphi^2dx$ であることを、定理 7.1 を使って示せ。

解答

$n=1$、$\Omega=(0,\pi)$、$V=0$、$\psi=\sin x\gt0$ とすると $-\psi''=\psi$ なので、$E=1$ として定理から $\int\varphi'^2\ge\int\varphi^2$ です。基底状態変換の等式から、等号に近づくのは $\varphi/\sin$ がほぼ定数のときで、定数 $1$ は最良です（$-\Delta_D$ の最低固有値が $1$）。

演習 8.2標準

$n=2$、$\Omega$ を単位円板、$u=1-|x|^2$ とする。$\int_\Omega(\Delta u)^2-\int_\Omega|D^2u|^2$ と、定理 4.1 の証明の境界項 $\int_{\partial\Omega}(\partial_\nu u)^2\operatorname{tr}D^2\psi\,dS$ をそれぞれ計算し、一致することを確かめよ。

解答

$D^2u=-2I$ なので $|D^2u|^2=8$、$(\Delta u)^2=16$ で、左辺は $8\pi$ です。境界では $\partial_\nu u=-2$、円の曲率は $1$ なので $\operatorname{tr}D^2\psi=1$（$n-1=1$ 個の主曲率の和）で、右辺は $4\cdot2\pi=8\pi$ です。

演習 8.3標準

定理 5.6 で $F$ が定数なら、$u$ は $B_1$ で調和（に a.e. で等しい）であることを示し、評価が $[\nabla u]_{\alpha;B_{1/2}}\le C\|\nabla u\|_{L^2(B_1)}$ になることを、命題 3.4［ラプラス方程式と調和関数］ から直接確かめよ。

解答

$F$ が定数なら $\int F\cdot\nabla\varphi=F\cdot\int\nabla\varphi=0$ なので、補題 5.3 から $u$ は調和です。$h=\partial_ku-(\partial_ku)_{B_1}$ は調和で、補題 5.4 の証明と同じ評価で $\sup_{B_{1/2}}|\nabla h|\le C\|h\|_{L^2(B_1)}\le C\|\nabla u\|_{L^2(B_1)}$ です。$B_{1/2}$ は凸なので平均値の不等式から $|h(x)-h(y)|\le\sup|\nabla h|\,|x-y|\le\sup|\nabla h|\,|x-y|^\alpha$（$|x-y|\le1$）で、主張の評価が出ます。調和関数では Hölder どころか Lipschitz（実際には $C^\infty$）評価が成り立ちます。

参考文献

• L. C. Evans, Partial Differential Equations, 2nd ed., American Mathematical Society, 2010 — Chapter 5.8.2（差分商）、Chapter 6.3（正則性）、Chapter 6.4（最大値原理）。
• D. Gilbarg, N. S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer, 2001（Classics in Mathematics 版）— Chapters 7–8（弱微分の連鎖律・弱最大値原理）。
• M. Giaquinta, L. Martinazzi, An Introduction to the Regularity Theory for Elliptic Systems, Harmonic Maps and Minimal Graphs, 2nd ed., Edizioni della Normale, 2012 — Chapters 4–5（Campanato 空間と Schauder 評価）。
• P. Grisvard, Elliptic Problems in Nonsmooth Domains, Pitman, 1985 — Chapter 3（凸領域の $H^2$ 正則性）。
• H. L. Cycon, R. G. Froese, W. Kirsch, B. Simon, Schrödinger Operators with Application to Quantum Mechanics and Global Geometry, Springer, 1987 — Section 2.4（Allegretto–Piepenbrink の定理）。