差分商と弱微分

補題 2.2（「楕円型正則性と最大値原理」§2）・ ✓公理まで証明済み

$u\in H^1(\Omega)$ 、 $V\Subset\Omega$ 、 $0\lt|h|\lt\operatorname{dist}(V,\partial\Omega)$ なら $\|D_k^hu\|_{L^2(V)}\le\|\partial_ku\|_{L^2(\Omega)}$ 。
$u\in L^2(\Omega)$ 、 $V\Subset\Omega$ とし、ある $C$ と $\delta\gt0$ について、 $0\lt|h|\lt\delta$ で $\|D_k^hu\|_{L^2(V)}\le C$ とする。このとき $V$ 上で弱微分 $\partial_ku\in L^2(V)$ が存在し、 $\|\partial_ku\|_{L^2(V)}\le C$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 86 件、定義なども含めて 101 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

局所的な軟化✓補題 2.1・楕円型正則性と最大値原理
- 弱微分と $W^{k,p}$ 定義 2.1・Sobolev 空間
- 軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    $ℝ^d$ のルベーグ測度は Radon でボレル正則✓命題 5.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    Radon 測度定義 3.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間この先をたどる →
    ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
    チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
有界列の弱収束部分列✓定理 5.5・Hilbert 空間の基礎
- リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎
  - 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎
    平行四辺形則と分極恒等式✓命題 2.3・Hilbert 空間の基礎
    最近点の変分的特徴づけ✓補題 3.3・Hilbert 空間の基礎
    命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎

これを使っている定理証明で参照している 2 件

内部 H² 正則性✓定理 3.1・楕円型正則性と最大値原理
局所的な Lipschitz 定数と弱勾配✓補題 2.2・固有関数とレゾルベントの指数減衰

差分商と弱微分

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件