内部 H² 正則性

定理 3.1（「楕円型正則性と最大値原理」§3）・ ✓公理まで証明済み

$a^{ij}\in C^1(\bar\Omega)$ 、 $b^i,c\in L^\infty(\Omega)$ 、 $f\in L^2(\Omega)$ とし、 $u\in H^1(\Omega)$ がすべての $v\in H^1_0(\Omega)$ で $B[u,v]=\langle f,v\rangle$ を満たすとする（ $u$ の境界値は問わない）。このとき $V\Subset\Omega$ について $u\in H^2(V)$ で、 $V,\Omega$ と係数だけで決まる $C$ について

\|u\|_{H^2(V)}\le C\bigl(\|f\|_{L^2(\Omega)}+\|u\|_{H^1(\Omega)}\bigr).

さらに $Lu=f$ が $V$ 上ほとんど至るところ成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 88 件、定義なども含めて 103 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

滑らかな切り落としと 1 の分割✓補題 2.3・Schwartz 空間と緩増加超関数
- 軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数（上で展開済み）
局所的な軟化✓補題 2.1・楕円型正則性と最大値原理
- 弱微分と $W^{k,p}$ 定義 2.1・Sobolev 空間
- 軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数（上で展開済み）
差分商と弱微分✓補題 2.2・楕円型正則性と最大値原理
- 局所的な軟化✓補題 2.1・楕円型正則性と最大値原理（上で展開済み）
- 有界列の弱収束部分列✓定理 5.5・Hilbert 空間の基礎
  - リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎
    射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
- $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - $ℝ^d$ のルベーグ測度は Radon でボレル正則✓命題 5.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性この先をたどる →
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度この先をたどる →
    第二可算な LCH 空間の開集合は σ-コンパクト✓補題 5.2・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    正則性の自動成立✓定理 5.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  - Radon 測度定義 3.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  - σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  - Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間この先をたどる →
  - ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
  - ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →

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