弱微分と $W^{k,p}$

定義 2.1（「Sobolev 空間」§2）

$U\subset\mathbb{R}^n$ を開集合、 $u,v\in L^1_{\mathrm{loc}}(U)$ 、 $\alpha\in\mathbb{N}_0^n$ とする。すべての $\varphi\in C_c^\infty(U)$ について

\int_Uu\,\partial^\alpha\varphi\,dx=(-1)^{|\alpha|}\int_Uv\,\varphi\,dx

が成り立つとき、 $v$ を $u$ の $\alpha$ 階の弱微分といい $\partial^\alpha u=v$ と書く。 $k\in\mathbb{N}_0$ 、 $1\le p\le\infty$ について

W^{k,p}(U)=\{u\in L^p(U)\mid|\alpha|\le k\text{ の弱微分 }\partial^\alpha u\text{ が存在して }L^p(U)\text{ に入る}\},\qquad\|u\|_{W^{k,p}}=\sum_{|\alpha|\le k}\|\partial^\alpha u\|_p

と定める。 $W^{k,p}_0(U)$ は $C_c^\infty(U)$ の $W^{k,p}(U)$ での閉包である。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。