区分的に滑らかな連続関数は H¹ に属する

補題 2.3（「有限要素法 II」§2）・ ✓公理まで証明済み

$v \in C(\bar\Omega)$ が、三角形分割 $\mathcal{T}_h$ の各三角形 $T$ の上で $C^1$ 級（ $T$ の内部で $C^1$ 級で、 $\nabla v$ が $T$ まで連続に延びる）とする。このとき $v \in H^1(\Omega)$ で、弱微分は三角形ごとの導関数に（ほとんどいたるところ）一致する。さらに $\partial\Omega$ の上で $v = 0$ ならば $v \in H^1_0(\Omega)$ である。特に $X_h \subset H^1(\Omega)$ 、 $V_h \subset H^1_0(\Omega)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 82 件、定義なども含めて 97 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
弱微分と $W^{k,p}$ 定義 2.1・Sobolev 空間
正の部分の弱微分✓補題 6.1・楕円型正則性と最大値原理
- 局所的な軟化✓補題 2.1・楕円型正則性と最大値原理（上で展開済み）
局所的な軟化✓補題 2.1・楕円型正則性と最大値原理
- 弱微分と $W^{k,p}$ 定義 2.1・Sobolev 空間
- 軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    $ℝ^d$ のルベーグ測度は Radon でボレル正則✓命題 5.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    Radon 測度定義 3.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間この先をたどる →
    ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 3 件

エネルギーノルムでの誤差✓定理 5.1・有限要素法 II
一般の長方形での H² 正則性✓系 5.3・有限要素法 II
逆不等式と条件数✓命題 6.3・有限要素法 II

区分的に滑らかな連続関数は H¹ に属する

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件