情報科学 › 偏微分方程式の離散化 › 有限要素法 II

逆不等式と条件数

命題 6.3（「有限要素法 II」§6） ・ ✓公理まで証明済み

  1. 三角形 TT の上の 1 次式 vv（頂点での値 α0,α1,α2\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2）について、∥v∥L2(T)2=∣T∣12(∑iαi2+(∑iαi)2)\|v\|_{L^2(T)}^2 = \dfrac{|T|}{12}\Bigl(\sum_i\alpha_i^2 + \bigl(\sum_i\alpha_i\bigr)^2\Bigr) で、∣T∣12∑iαi2≤∥v∥L2(T)2≤∣T∣3∑iαi2\dfrac{|T|}{12}\sum_i\alpha_i^2 \le \|v\|_{L^2(T)}^2 \le \dfrac{|T|}{3}\sum_i\alpha_i^2、∥∇v∥L2(T)≤96ρT∥v∥L2(T)\|\nabla v\|_{L^2(T)} \le \dfrac{\sqrt{96}}{\rho_T}\|v\|_{L^2(T)}。
  2. 形状正則（定数 σ\sigma）で準一様（定数 γ\gamma）な分割では、すべての vh∈Xhv_h \in X_h について ∥∇vh∥≤Cinvh∥vh∥\|\nabla v_h\| \le \dfrac{C_{\mathrm{inv}}}{h}\|v_h\|、Cinv=96 γσC_{\mathrm{inv}} = \sqrt{96}\,\gamma\sigma。
  3. 2 の仮定のもとで、Ω\Omega が幅 dd の帯に含まれるとすると、κ2(G)≤8nσγ2σ2π\kappa_2(G) \le \dfrac{8n_\sigma\gamma^2\sigma^2}{\pi}、κ2(K)≤8nσγ2σ2π Cinv2d2 h−2\kappa_2(K) \le \dfrac{8n_\sigma\gamma^2\sigma^2}{\pi}\,C_{\mathrm{inv}}^2d^2\,h^{-2}。ここで nσn_\sigma は 1 つの節点を共有する三角形の個数の上界である。
  4. 2 の仮定のもとで、陽的 Euler 法 ⟨Un+1−Un,vh⟩+Δt⟨∇Un,∇vh⟩=0\langle U^{n+1} - U^n, v_h\rangle + \Delta t\langle\nabla U^n, \nabla v_h\rangle = 0（vh∈Vhv_h \in V_h）の解は、Δt≤2h2/Cinv2\Delta t \le 2h^2/C_{\mathrm{inv}}^2 ならば ∥Un+1∥≤∥Un∥\|U^{n+1}\| \le \|U^n\| を満たす。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 206 件、定義なども含めて 231 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

関連するノック 1 問