要素ごとの Poincaré 不等式

補題 6.1（「無限次元の固有値の包含」§6）・ ✓公理まで証明済み

$v$ が $[a,a+h]$ で絶対連続、 $v'\in L^2$ 、 $v(a)=v(a+h)=0$ ならば $\displaystyle\int_a^{a+h}v^2\,dx\le\Bigl(\frac h\pi\Bigr)^2\int_a^{a+h}v'^2\,dx$ である。定数 $h/\pi$ は最良である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 125 件、定義なども含めて 143 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

正弦関数系の完全性✓命題 6.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
- 固有値の基本性質✓命題 2.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
  - Lagrange の恒等式✓補題 2.1・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
  - 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系（上で展開済み）
- 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系
  - C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
    ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値この先をたどる →
  - 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性
    Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性この先をたどる →
  - 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
    初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性この先をたどる →
    積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
    Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性この先をたどる →
- 固有関数展開の完備性✓定理 6.1・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
  - 振動定理✓定理 4.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
    初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    1 階線形方程式の解の公式✓定理 4.2・常微分方程式の初等解法この先をたどる →
    固有値の基本性質✓命題 2.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数（上で展開済み）
  - Hilbert–Schmidt 作用素と L² 積分核✓定理 6.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - Hilbert–Schmidt 作用素の性質✓命題 6.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    Hilbert–Schmidt ノルムの基底によらなさ✓命題 6.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
    有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
  - Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    ノルムは固有値として達成される✓補題 4.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
    コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    対角作用素のコンパクト性✓命題 3.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
  - Green 関数による境界値問題の解✓定理 5.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
  - 固有値の基本性質✓命題 2.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数（上で展開済み）
微積分学の基本定理（ルベーグ版）✓定理 6.9・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
- 絶対連続性の ε-δ 表現✓命題 2.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
  - 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 不定積分の微分✓系 5.4・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
  - Lebesgue の微分定理✓定理 5.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    極大不等式✓定理 5.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理この先をたどる →
    外測度零の集合は可測✓命題 4.4・可測集合とルベーグ測度この先をたどる →
- Radon–Nikodym の定理✓定理 4.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
  - Lebesgue 分解✓定理 4.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    有限測度の Lebesgue 分解と密度（von Neumann の議論）✓補題 4.1・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 全変動の性質✓命題 6.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
ベッセルの不等式✓定理 6.2・Hilbert 空間の基礎

これを使っている定理証明で参照している 3 件

H¹₀(0,1) の基本性質✓補題 3.2・有限要素法 I
1 次元の節点補間の誤差✓定理 4.1・有限要素法 I
1 次元では Galerkin 射影は節点補間✓補題 6.2・無限次元の固有値の包含

要素ごとの Poincaré 不等式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件