H¹₀(0,1) の基本性質

補題 3.2（「有限要素法 I」§3）・ ✓公理まで証明済み

$u, v \in H^1(0,1)$ なら $uv$ は絶対連続で、 $\int_x^yu'v\,dt = \bigl[uv\bigr]_x^y - \int_x^yuv'\,dt$ （部分積分）。
$u \in H^1_0(0,1)$ なら $\max|u| \le \|u'\|$ 、 $\|u\| \le \frac{1}{\pi}\|u'\|$ 。
$H^1_0(0,1)$ は内積 $\langle u', v'\rangle$ について Hilbert 空間である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 126 件、定義なども含めて 144 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

微積分学の基本定理（ルベーグ版）✓定理 6.9・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
- 絶対連続性の ε-δ 表現✓命題 2.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
  - 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 不定積分の微分✓系 5.4・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
  - Lebesgue の微分定理✓定理 5.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    極大不等式✓定理 5.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理この先をたどる →
    外測度零の集合は可測✓命題 4.4・可測集合とルベーグ測度この先をたどる →
- Radon–Nikodym の定理✓定理 4.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
  - Lebesgue 分解✓定理 4.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    有限測度の Lebesgue 分解と密度（von Neumann の議論）✓補題 4.1・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 全変動の性質✓命題 6.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
要素ごとの Poincaré 不等式✓補題 6.1・無限次元の固有値の包含
- 正弦関数系の完全性✓命題 6.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
  - 固有値の基本性質✓命題 2.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
    Lagrange の恒等式✓補題 2.1・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
    斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系（上で展開済み）
  - 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系
    C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性この先をたどる →
    線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性この先をたどる →
    解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性この先をたどる →
  - 固有関数展開の完備性✓定理 6.1・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
    振動定理✓定理 4.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数この先をたどる →
    Hilbert–Schmidt 作用素と L² 積分核✓定理 6.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    Hilbert–Schmidt 作用素の性質✓命題 6.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
    Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
    Green 関数による境界値問題の解✓定理 5.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
    固有値の基本性質✓命題 2.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数（上で展開済み）
- 微積分学の基本定理（ルベーグ版）✓定理 6.9・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理（上で展開済み）
- ベッセルの不等式✓定理 6.2・Hilbert 空間の基礎

これを使っている定理証明で参照している 4 件

1 次元の H² 正則性✓補題 3.3・有限要素法 I
1 次元の節点補間の誤差✓定理 4.1・有限要素法 I
エネルギーノルムでの誤差✓定理 5.1・有限要素法 I
剛性行列と質量行列の条件数✓命題 6.3・有限要素法 I

H¹₀(0,1) の基本性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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