1 次元の節点補間の誤差

定理 4.1（「有限要素法 I」§4）・ ✓公理まで証明済み

任意の分割について次が成り立つ。

$u \in H^2(0,1)$ 、 $u(0) = u(1) = 0$ ならば $\|(u - I_hu)'\| \le \dfrac{h}{\pi}\|u''\|$ 、 $\|u - I_hu\| \le \Bigl(\dfrac{h}{\pi}\Bigr)^2\|u''\|$ 。
$u$ が $C^2$ 級で $u''$ が絶対連続、 $u''' \in L^2(0,1)$ 、 $u(0) = u(1) = 0$ ならば、区分 2 次の節点補間について $\|(u - I_h^{(2)}u)'\| \le h^2\|u'''\|$ 、 $\|u - I_h^{(2)}u\| \le \dfrac{h^3}{2\pi}\|u'''\|$ 。
$k \ge 1$ とし、 $u$ は $[0,1]$ を含む開区間で $C^{k+1}$ 級とする。各要素を $k$ 等分した $k+1$ 個の点での値を補間する区分 $k$ 次の連続関数を $I_h^{(k)}u$ とすると、 $\max_{[0,1]}|u - I_h^{(k)}u| \le \dfrac{h^{k+1}}{(k+1)!}\max|u^{(k+1)}|$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 129 件、定義なども含めて 147 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

要素ごとの Poincaré 不等式✓補題 6.1・無限次元の固有値の包含
- 正弦関数系の完全性✓命題 6.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
  - 固有値の基本性質✓命題 2.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
    Lagrange の恒等式✓補題 2.1・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
    斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系（上で展開済み）
  - 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系
    C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性この先をたどる →
    線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性この先をたどる →
    解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性この先をたどる →
  - 固有関数展開の完備性✓定理 6.1・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
    振動定理✓定理 4.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数この先をたどる →
    Hilbert–Schmidt 作用素と L² 積分核✓定理 6.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    Hilbert–Schmidt 作用素の性質✓命題 6.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
    Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
    Green 関数による境界値問題の解✓定理 5.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
    固有値の基本性質✓命題 2.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数（上で展開済み）
- 微積分学の基本定理（ルベーグ版）✓定理 6.9・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
  - 絶対連続性の ε-δ 表現✓命題 2.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
  - 不定積分の微分✓系 5.4・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    Lebesgue の微分定理✓定理 5.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理この先をたどる →
  - Radon–Nikodym の定理✓定理 4.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    Lebesgue 分解✓定理 4.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理この先をたどる →
  - 全変動の性質✓命題 6.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
- ベッセルの不等式✓定理 6.2・Hilbert 空間の基礎
H¹₀(0,1) の基本性質✓補題 3.2・有限要素法 I
- 微積分学の基本定理（ルベーグ版）✓定理 6.9・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理（上で展開済み）
- 要素ごとの Poincaré 不等式✓補題 6.1・無限次元の固有値の包含（上で展開済み）
補間誤差の公式✓定理 4.1・多項式補間
- Rolle の定理の繰り返し✓補題 3.4・多項式補間
  - ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理
    最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
    フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

エネルギーノルムでの誤差✓定理 5.1・有限要素法 I
L² ノルムでの誤差（Aubin–Nitsche の双対論法）✓定理 5.2・有限要素法 I

1 次元の節点補間の誤差

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 3 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件