偏微分方程式の離散化

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偏微分方程式を有限個の未知数の問題に置き換える 3 つの方法（差分法・有限要素法・スペクトル法）を、「整合性と安定性から収束が従う」という 1 つの枠組みで扱う。

想定読者: 大学院生（修士課程）、偏微分方程式・固有値問題を差分法・有限要素法・スペクトル法で解き、誤差の次数を説明できるようになりたい人

前提テーマ:数値解析の基礎、数値線形代数、偏微分方程式

このテーマの 100 本ノック（50 問）

目次

1. 第 1 章差分法の整合性・安定性・収束：Lax の同等定理と von Neumann 解析無料発展方程式の差分スキームについて、整合性と安定性から収束が従うこと（Lax の同等定理）を証明し、von Neumann の安定性解析、CFL 条件、移流方程式の 4 つのスキームの安定性と精度、数値粘性、Godunov の次数の壁を導く。
2. 第 2 章楕円型・放物型方程式の差分法：離散最大値原理と θ 法無料Poisson 方程式の 5 点差分について離散最大値原理から最大値ノルムの安定性と O(h²) の収束を証明し、熱方程式の θ 法（陽的 Euler・陰的 Euler・Crank–Nicolson）の安定条件、最大値原理、誤差の次数、高波数の減衰を導く。
3. 第 3 章有限要素法 I：Galerkin 近似・Céa の補題・1 次元の誤差評価無料変分問題を有限次元部分空間で解く Galerkin 近似について、適切性・Galerkin 直交性・Céa の補題を証明し、1 次元の区分 1 次要素で補間誤差、エネルギーノルムと L² ノルムの誤差評価（双対論法）、節点での厳密性、剛性行列の条件数を導く。
4. 第 4 章有限要素法 II：三角形要素・補間誤差・L² 評価と放物型問題無料多角形領域の三角形分割の上の区分 1 次要素について、補間誤差 O(h²)・O(h²/ρ) を定数つきで証明し、Poisson 方程式の誤差評価、L² での双対論法、逆不等式、余接の公式と離散最大値原理、熱方程式の半離散・全離散の誤差評価を導く。
5. 第 5 章スペクトル法：Fourier・Chebyshev 選点法と指数収束無料周期関数の Fourier 切断と三角補間の誤差を折り返しの公式から評価し、解析関数に対する指数収束、スペクトル微分行列、Galerkin 法と選点法の差、Chebyshev–Gauss–Lobatto 点での補間と微分行列の大きさを証明する。
6. 第 6 章波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展：leapfrog・Crank–Nicolson・分割演算子法無料保存量をもつ発展方程式の時間離散化として、leapfrog 法の安定条件・離散エネルギーの保存・数値分散、Crank–Nicolson 法のユニタリ性と誤差、Lie–Trotter・Strang 分割の交換子による誤差評価、箱による切断の誤差を証明する。
7. 第 7 章固有値問題の離散化：差分・有限要素の固有値の収束と上界・下界無料微分作用素の固有値を行列の固有値で近似したときの誤差を扱う。3 点差分は下から、有限要素法の Ritz 値は上から O(h²) で収束すること、固有ベクトルの誤差とすき間の関係、領域の切断の指数的な誤差、偽の固有値が現れない範囲を証明する。