数学 › 常微分方程式 › Sturm–Liouville 問題と Green 関数

正弦関数系の完全性

命題 6.2（「Sturm–Liouville 問題と Green 関数」§6）・ ✓公理まで証明済み

$\ell>0$ とする。 $-y''=\lambda y$ 、 $y(0)=y(\ell)=0$ の固有値は $\lambda_n=(n\pi/\ell)^2$ （ $n=1,2,\dots$ ）で、 $\varphi_n(x)=\sqrt{2/\ell}\,\sin(n\pi x/\ell)$ は $\lambda_n$ の規格化された固有関数である。 $\{\varphi_n\}_{n\ge1}$ は $L^2(0,\ell)$ の正規直交基底である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 81 件、定義なども含めて 95 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

固有値の基本性質✓命題 2.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
- Lagrange の恒等式✓補題 2.1・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
- 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系（上で展開済み）
斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系
- C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
  - ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性
    導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性
    C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
    Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
- 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
  - 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性
    微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - 積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
固有関数展開の完備性✓定理 6.1・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
- 振動定理✓定理 4.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
  - 初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性
    C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
    初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
    コンパクト集合上の連続関数の一様連続性✓補題 2.3・常微分方程式の初等解法この先をたどる →
    Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 1 階線形方程式の解の公式✓定理 4.2・常微分方程式の初等解法
    微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    導関数が 0 の関数✓補題 2.2・常微分方程式の初等解法この先をたどる →
  - 固有値の基本性質✓命題 2.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数（上で展開済み）
- Hilbert–Schmidt 作用素と L² 積分核✓定理 6.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
- Hilbert–Schmidt 作用素の性質✓命題 6.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - Hilbert–Schmidt ノルムの基底によらなさ✓命題 6.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定この先をたどる →
  - 有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
- Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - ノルムは固有値として達成される✓補題 4.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    自己共役作用素のスペクトル✓定理 6.10・有界作用素と共役作用素この先をたどる →
  - コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - 対角作用素のコンパクト性✓命題 3.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス（上で展開済み）
- Green 関数による境界値問題の解✓定理 5.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
- 固有値の基本性質✓命題 2.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数（上で展開済み）

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要素ごとの Poincaré 不等式✓補題 6.1・無限次元の固有値の包含

正弦関数系の完全性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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