数学 › 解析学（実解析） › 符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

微積分学の基本定理（ルベーグ版）

定理 6.9（「符号付き測度と Radon–Nikodym の定理」§6） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 54 件、定義なども含めて 61 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 絶対連続性の ε-δ 表現✓命題 2.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

  • 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理

    • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
• 不定積分の微分✓系 5.4・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

  • Lebesgue の微分定理✓定理 5.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

    • $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

      • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 極大不等式✓定理 5.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

      • Vitali の被覆補題✓補題 5.1・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    • 外測度零の集合は可測✓命題 4.4・可測集合とルベーグ測度

      • 可測性の検証は片側の不等式で足りる✓補題 4.2・可測集合とルベーグ測度 この先をたどる →
      • 外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度 この先をたどる →
• Radon–Nikodym の定理✓定理 4.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

  • Lebesgue 分解✓定理 4.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

    • 有限測度の Lebesgue 分解と密度（von Neumann の議論）✓補題 4.1・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

      • ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
      • $L^2$ はヒルベルト空間✓定理 6.2・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
      • リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎 この先をたどる →
      • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
      • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
• 全変動の性質✓命題 6.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

• H¹₀(0,1) の基本性質✓補題 3.2・有限要素法 I
• 要素ごとの Poincaré 不等式✓補題 6.1・無限次元の固有値の包含
• Abel の定理（Stolz 角での連続性）✓定理 4.1・Laplace・Mellin 変換と Tauber 型定理

関連するノック 2 問

• 実解析 第 92 問
• 実解析 第 93 問