アフィン写像による半ノルムの変換

$F(\hat x) = B\hat x + b$（$B$ は正則）が三角形 $\hat T$ を $T$ に写すとし、$T$ 上の関数 $v$ に $\hat v = v \circ F$ を対応させる。$\|B\|$ を Euclid ノルムから誘導される行列ノルムとする。

1. $v \in C^m(T)$（$m = 0, 1, 2$）について $|\hat v|_{H^m(\hat T)} \le \|B\|^m|\det B|^{-1/2}|v|_{H^m(T)}$、$|v|_{H^m(T)} \le \|B^{-1}\|^m|\det B|^{1/2}|\hat v|_{H^m(\hat T)}$（$|\cdot|_{H^0}$ は $L^2$ ノルム）。
2. $\|B\| \le \dfrac{h_T}{\hat\rho}$、$\|B^{-1}\| \le \dfrac{\hat h}{\rho_T}$。ここで $\hat h$、$\hat\rho$ は $\hat T$ の直径と内接円の直径である。