数学 › 数値解析の基礎 › 多項式補間

Chebyshev 多項式の三角関数による表示

補題 6.1（「多項式補間」§6）・ ✓公理まで証明済み

$k \ge 0$ について次が成り立つ。

すべての実数 $\theta$ について $T_k(\cos\theta) = \cos k\theta$ 。とくに $[-1,1]$ 上で $|T_k| \le 1$ 。
$k \ge 1$ なら $T_k$ は $k$ 次で、最高次の係数は $2^{k-1}$ である。 $T_k(-x) = (-1)^kT_k(x)$ 。
$k \ge 1$ なら $T_k$ の零点は $\cos\bigl((2j+1)\pi/(2k)\bigr)$ （ $j = 0, \ldots, k-1$ ）の $k$ 個で、すべて $(-1, 1)$ の相異なる点である。また $\eta_j = \cos(j\pi/k)$ （ $j = 0, \ldots, k$ ）で $T_k(\eta_j) = (-1)^j$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 17 件、定義なども含めて 18 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

零点の個数✓系 2.3・多項式補間
- 補間多項式の存在と一意性✓定理 2.2・多項式補間
  - Vandermonde 行列式✓補題 2.1・多項式補間
    基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質この先をたどる →
    余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質この先をたどる →
  - 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質
    余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質この先をたどる →
    線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 7 件

Chebyshev 補間の誤差✓定理 7.4・スペクトル法
Chebyshev 多項式の最小最大性✓定理 6.2・多項式補間
Chebyshev 点での補間誤差✓系 6.3・多項式補間
区間の外での Chebyshev 多項式の増大✓補題 6.4・多項式補間
Chebyshev 点の Lebesgue 定数の上界✓定理 6.5・多項式補間
最大の Ritz 値の収束（Kaniel–Paige の評価）✓定理 4.3・Krylov 部分空間法 I
共役勾配法の収束の評価✓定理 5.4・Krylov 部分空間法 I

関連するノック 1 問

数値線形代数第 91 問