数学 › 数値解析の基礎 › 多項式補間

Chebyshev 点での補間誤差

系 6.3（「多項式補間」§6） ・ ✓公理まで証明済み

a<ba \lt b、n≥0n \ge 0 とし、Chebyshev 点

xj=a+b2+b−a2cos⁡(2j+1)π2n+2(j=0,…,n)x_j = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\cos\frac{(2j+1)\pi}{2n+2} \qquad (j = 0, \ldots, n)

をとる。このとき max⁡[a,b]∣ω∣=2((b−a)/4)n+1\max_{[a,b]}|\omega| = 2((b-a)/4)^{n+1} で、これは相異なる n+1n+1 点のすべての選び方の中で最小である。ff が [a,b][a,b] を含む開区間で n+1n+1 回微分可能で ∣f(n+1)∣≤Mn+1|f^{(n+1)}| \le M_{n+1}（[a,b][a,b] 上）ならば

max⁡[a,b]∣f−pn∣≤2Mn+1(n+1)!(b−a4)n+1\max_{[a,b]}|f - p_n| \le \frac{2M_{n+1}}{(n+1)!}\Bigl(\frac{b-a}{4}\Bigr)^{n+1}

である。とくに [a,b]=[−1,1][a,b] = [-1,1] では右辺は Mn+1/(2n(n+1)!)M_{n+1}/(2^n(n+1)!) である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 32 件、定義なども含めて 37 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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