共役勾配法の収束の評価

定理 5.4（「Krylov 部分空間法 I」§5）・ ✓公理まで証明済み

$A$ の最大・最小の固有値を $\lambda_{\max}$ , $\lambda_{\min}$ 、 $\kappa = \lambda_{\max}/\lambda_{\min}$ とする。共役勾配法の誤差 $\boldsymbol{e}_k = \boldsymbol{x}_k - \boldsymbol{x}^{*}$ は（停止した後は $\boldsymbol{e}_k = \boldsymbol{0}$ とみなして）

\|\boldsymbol{e}_k\|_A = \min_{p\in\mathcal{P}_k,\ p(0)=1}\|p(A)\boldsymbol{e}_0\|_A \le \min_{p\in\mathcal{P}_k,\ p(0)=1}\ \max_{\lambda\in\sigma(A)}|p(\lambda)|\ \|\boldsymbol{e}_0\|_A \le 2\left(\frac{\sqrt{\kappa} - 1}{\sqrt{\kappa} + 1}\right)^{k}\|\boldsymbol{e}_0\|_A

を満たす。ここで $\sigma(A)$ は $A$ の固有値の集合である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 33 件、定義なども含めて 36 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

共役勾配法の直交性と最適性✓定理 5.2・Krylov 部分空間法 I
スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
- 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル
  - 特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
  - 固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトル
    固有値と固有ベクトル定義 3.1・固有値と固有ベクトル
- エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理
    随伴行列定義 2.1・スペクトル定理
- 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
区間の外での Chebyshev 多項式の増大✓補題 6.4・多項式補間
- Chebyshev 多項式の三角関数による表示✓補題 6.1・多項式補間（上で展開済み）
Chebyshev 多項式の三角関数による表示✓補題 6.1・多項式補間
- 零点の個数✓系 2.3・多項式補間
  - 補間多項式の存在と一意性✓定理 2.2・多項式補間
    Vandermonde 行列式✓補題 2.1・多項式補間この先をたどる →
    正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

剛性行列と質量行列の条件数✓命題 6.3・有限要素法 I
前処理つき共役勾配法✓定理 6.2・Krylov 部分空間法 I

共役勾配法の収束の評価

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 4 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件