等間隔の区分 1 次要素と 3 点差分

等間隔の分割（$h_i = h = 1/N$）で、$a(u,v) = \int_0^1u'v'\,dx$ とする。

1. 剛性行列は $K = \frac{1}{h}\,\mathrm{tridiag}(-1, 2, -1)$、質量行列は $G = \frac{h}{6}\,\mathrm{tridiag}(1, 4, 1)$ である。$K$ は 3 点差分の行列 $A = \frac{1}{h^2}\mathrm{tridiag}(-1,2,-1)$ の $h$ 倍である。
2. 荷重ベクトルは $b_i = \int_0^1f\varphi_i\,dx = h\bar f_i$ で、$\bar f_i = \frac1h\int f\varphi_i\,dx$ は重み $\varphi_i/h$（積分が $1$）による $f$ の平均である。
3. $b_i$ を $hf(x_i)$ で置き換える（質量行列の各行の和を対角に集める集中化にあたる）と、$K\boldsymbol{c} = \boldsymbol{b}$ は 3 点差分の方程式 $-\frac{c_{i+1} - 2c_i + c_{i-1}}{h^2} = f(x_i)$ に一致する。