1 次元の区分 1 次要素の固有値

区間のモデル問題を、等間隔の分割（$h = 1/M$）の区分 1 次の有限要素空間 $V_h \subset H^1_0(0,1)$ で離散化する。$\theta_k = k\pi h$（$k = 1, \ldots, M-1$）とおく。

1. Ritz 値は $$\lambda_k^h = \frac{6}{h^2}\cdot\frac{1 - \cos\theta_k}{2 + \cos\theta_k}\qquad(k = 1, \ldots, M-1)$$ で、Ritz ベクトルは $\sin k\pi x$ の節点補間である。
2. 質量行列 $G$ を対角行列 $hI$ に置き換える（集中化）と、一般化固有値問題は 3 点差分の固有値問題に一致し、固有値は 定理 3.1 の $\lambda_k^{\mathrm{FD}}$ になる。
3. $k$ を固定して $h \to 0$ とすると $$\lambda_k^h = \lambda_k + \frac{\lambda_k^2h^2}{12} + \frac{\lambda_k^3h^4}{360} + O(h^6),\qquad \lambda_k^{\mathrm{FD}} = \lambda_k - \frac{\lambda_k^2h^2}{12} + \frac{\lambda_k^3h^4}{360} + O(h^6)$$ で、平均は $\frac12(\lambda_k^h + \lambda_k^{\mathrm{FD}}) = \lambda_k + \dfrac{\lambda_k^3h^4}{360} + O(h^6)$ である。