Ritz 値のミニマックス表示

補題 2.3（「固有値問題の離散化」§2）・ ✓公理まで証明済み

$V_h \subset V$ を $n$ 次元の部分空間とする。実数 $\lambda_1^h \le \cdots \le \lambda_n^h$ と $V_h$ の基底 $u_1^h, \ldots, u_n^h$ で

\langle u_i^h, u_j^h\rangle = \delta_{ij},\qquad a(u_i^h, u_j^h) = \lambda_i^h\delta_{ij}

を満たすものが存在し、Ritz 値はこの $\lambda_1^h, \ldots, \lambda_n^h$ ですべてである。さらに $k = 1, \ldots, n$ について

\lambda_k^h = \min_{\substack{F \subset V_h\\ \dim F = k}}\ \max_{w \in F,\ w \ne 0}R(w)

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 21 件、定義なども含めて 23 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
実対称行列の直交対角化✓系 4.3・スペクトル定理
- エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理
    随伴行列定義 2.1・スペクトル定理
- スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
  - 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル
    特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
    固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
  - エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
    正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
- 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
形式についてのミニマックス原理✓補題 2.1・固有値問題の離散化

これを使っている定理証明で参照している 3 件

適合な Galerkin 近似の上界と単調性✓定理 4.1・固有値問題の離散化
Ritz 値の誤差は固有関数のエネルギー誤差の 2 乗✓定理 4.2・固有値問題の離散化
1 次元の区分 1 次要素の固有値✓定理 4.3・固有値問題の離散化

Ritz 値のミニマックス表示

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件