Ritz 値の誤差は固有関数のエネルギー誤差の 2 乗

$V_h \subset V$ を有限次元の部分空間、$P_h$ を Ritz 射影、$k \ge 1$、$E_k = \mathrm{span}\{u_1, \ldots, u_k\}$ とする。

1. $\varepsilon_k = \max\{\|u - P_hu\|_a : u \in E_k,\ \|u\| = 1\}$ とおく。$2\varepsilon_k^2 \lt \lambda_1$ ならば $\dim V_h \ge k$ で $$\lambda_k \le \lambda_k^h \le \frac{\lambda_k}{1 - 2\varepsilon_k^2/\lambda_1}.$$
2. 定数 $\eta \gt 0$ があって、すべての $w \in D(A)$ について $\|w - P_hw\|_a \le \eta\|Aw\|$ が成り立つとする。$2\eta^2\lambda_k \lt 1$ ならば $\dim V_h \ge k$ で $$\lambda_k \le \lambda_k^h \le \frac{\lambda_k}{1 - 2\eta^2\lambda_k},\qquad\text{とくに}\ 4\eta^2\lambda_k \le 1\ \text{なら}\quad 0 \le \lambda_k^h - \lambda_k \le 4\eta^2\lambda_k^2.$$