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Fourier–Galerkin 法の固有値の指数収束

命題 8.4（「固有値問題の離散化」§8） ・ ✓公理まで証明済み

H\mathcal{H} を周期 2π2\pi の実数値関数の L2L^2 空間（内積 ⟨u,v⟩=12π∫−ππuv dx\langle u, v\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}uv\,dx）、VcV_c を連続な周期関数で 1≤Vc(x)≤V11 \le V_c(x) \le V_1 を満たすものとし、V=Hper1V = H^1_{\mathrm{per}} 上の形式 a(u,v)=⟨u′,v′⟩+⟨Vcu,v⟩a(u,v) = \langle u', v'\rangle + \langle V_cu, v\rangle が §2 の設定を満たすとする（固有値 λm\lambda_m、固有関数 umu_m）。N=2K+1N = 2K+1、Vh=SNV_h = S_N（次数 KK 以下の実三角多項式の空間。スペクトル法の 定義 2.1［スペクトル法］）とし、その Ritz 値を λkN\lambda_k^N と書く。u1,…,uku_1, \ldots, u_k が帯状領域 {∣Im z∣<a0}\{|\mathrm{Im}\,z| \lt a_0\} に正則に延長され、そこで ∣ui∣≤M0|u_i| \le M_0 を満たすなら、0<b<a00 \lt b \lt a_0 について、NN によらない定数 CC があって、十分大きいすべての NN で

0≤λkN−λk≤C (N+1)2e−bN0 \le \lambda_k^N - \lambda_k \le C\,(N+1)^2e^{-bN}

が成り立つ。C=4kM02GbebV1λk/λ1C = 4kM_0^2G_be^{b}V_1\lambda_k/\lambda_1、Gb=∑j≥1j2e−2bjG_b = \sum_{j\ge1}j^2e^{-2bj} ととれる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 41 件、定義なども含めて 49 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。