実対称行列の直交対角化

系 4.3（「スペクトル定理」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を $n$ 次実対称行列（ $A^{\mathsf{T}} = A$ 、成分はすべて実数）とする。このとき実の直交行列 $P$ （ $P^{\mathsf{T}}P = PP^{\mathsf{T}} = I$ ）と実対角行列 $\Lambda$ が存在して

P^{\mathsf{T}}AP = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)

が成り立つ。 $P$ の列は $A$ の固有ベクトルからなる $\mathbb{R}^n$ の正規直交基底である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 19 件、定義なども含めて 21 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理
- 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理
  - 随伴行列定義 2.1・スペクトル定理
スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
- 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル
  - 特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
  - 固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトル
    固有値と固有ベクトル定義 3.1・固有値と固有ベクトル
- エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理（上で展開済み）
- 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理（上で展開済み）
- 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理
- 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
- 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
- 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 16 件

二次関数に対する勾配降下法✓命題 5.1・勾配降下法
最小二乗損失に対する勾配降下法の収束✓定理 4.4・なぜ機械学習に数学が必要か
Ritz 値のミニマックス表示✓補題 2.3・固有値問題の離散化
エネルギー法による安定性と変数係数への拡張✓命題 5.2・楕円型・放物型方程式の差分法
剛性行列と質量行列の条件数✓命題 6.3・有限要素法 I
可逆な連鎖のスペクトル分解✓補題 2.6・Markov 連鎖 Monte Carlo
多次元正規分布からの生成✓命題 5.3・分布からの標本抽出
2 次曲線の分類✓定理 6.1・2 次曲線
高木分解✓定理 8.1・行列の分解と標準形
主軸定理と正定値性の判定✓定理 6.3・スペクトル定理
スペクトルギャップの固有値表示と指数減衰✓命題 6.2・Markov 連鎖と Poisson 過程
SL(2,ℝ) の行列の特異値✓補題 4.1・劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数
箱の上の 1 形式の Poincaré 不等式✓補題 4.2・準備 3 の 2
主軸✓命題 4.3・非慣性系と剛体の運動
基準モードへの分解✓定理 4.1・振動と波動
Weinberg の収束定理（質量のあるユークリッドのスカラー場）✓定理 5.8・くりこみ理論入門

実対称行列の直交対角化

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 16 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 16 件