スペクトルギャップの固有値表示と指数減衰

命題 6.2（「Markov 連鎖と Poisson 過程」§6）・ ✓公理まで証明済み

$P$ の固有値は実数で、 $1=\beta_0\ge\beta_1\ge\cdots\ge\beta_{|S|-1}\ge-1$ と並べられ、 $\lambda(P)=1-\beta_1$ 。
$Q$ を $\pi$ に関して可逆なレート行列とする。 $Q$ の固有値は $0=-\kappa_0\ge-\kappa_1\ge\cdots$ と実数で、 $\lambda(Q)=\kappa_1$ 。さらに連続時間連鎖の半群について、任意の $f$ と $t\ge0$ で

\mathrm{Var}_\pi(P_tf)\le e^{-2\lambda(Q)t}\,\mathrm{Var}_\pi(f).

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 22 件、定義なども含めて 24 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

実対称行列の直交対角化✓系 4.3・スペクトル定理
- エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理
    随伴行列定義 2.1・スペクトル定理
- スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
  - 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル
    特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
    固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
  - エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
    正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
- 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
レイリー商の最大・最小✓定理 7.1・スペクトル定理
- 主軸定理と正定値性の判定✓定理 6.3・スペクトル定理
  - 実対称行列の直交対角化✓系 4.3・スペクトル定理（上で展開済み）
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  - スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Peskun の順序✓定理 5.4・Markov 連鎖 Monte Carlo
Cheeger の不等式✓定理 6.2・Markov 連鎖 Monte Carlo

スペクトルギャップの固有値表示と指数減衰

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件