レイリー商の最大・最小

$A$ を $n$ 次エルミート行列とし、その固有値を大きい順に $\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \cdots \ge \lambda_n$（重複を込める）、対応する正規直交固有ベクトルを $\boldsymbol{u}_1,\ldots,\boldsymbol{u}_n$ とする（定理 4.2 によって存在する）。$\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$ に対しレイリー商を $R(\boldsymbol{x}) = \dfrac{\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle}{\|\boldsymbol{x}\|^2}$ で定めると、次が成り立つ。

1. すべての $\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$ に対し $\lambda_n \le R(\boldsymbol{x}) \le \lambda_1$ であり、$R(\boldsymbol{u}_1) = \lambda_1$、$R(\boldsymbol{u}_n) = \lambda_n$。特に $\max_{\|\boldsymbol{x}\|=1}\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle = \lambda_1$、$\min_{\|\boldsymbol{x}\|=1}\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle = \lambda_n$。
2. $2 \le k \le n$ とする。$\boldsymbol{u}_1,\ldots,\boldsymbol{u}_{k-1}$ のすべてと直交する $\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$ に制限すると $R(\boldsymbol{x}) \le \lambda_k$ であり、$\boldsymbol{x} = \boldsymbol{u}_k$ で等号が成り立つ。