主軸定理と正定値性の判定
- （主軸定理） を 次実対称行列、 とする。 の固有値を重複を込めて 、対応する正規直交固有ベクトルを列に並べた直交行列を とすると、変数変換 によって
となる。すなわち 2 次形式は、直交座標変換によって交差項のない形（標準形）に直せる。 2. エルミート行列 が正定値であるための必要十分条件は、 のすべての固有値が正であることである。半正定値であるための必要十分条件は、すべての固有値が非負であることである。実対称行列 については、 上で が成り立つことと、 上で正定値であることは同値である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 20 件、定義なども含めて 22 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
実対称行列の直交対角化✓系 4.3・スペクトル定理
エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理
- 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
- スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理（上で展開済み）
不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理
- 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
- 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル
- 特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトル
- 固有値と固有ベクトル定義 3.1・固有値と固有ベクトル
- エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理（上で展開済み）
- 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理（上で展開済み）
直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
- グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化 この先をたどる →
- 直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
- 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
これを使っている定理 証明で参照している 5 件
- LDLᵀ 分解による慣性の認証✓定理 3.1・行列計算の認証と最適化の証明書
- 対角優位行列✓系 2.3・行列の固有値評価と不等式
- レイリー商の最大・最小✓定理 7.1・スペクトル定理
- Stieltjes 行列の特徴づけ✓補題 6.3・Krylov 部分空間法 II
- 前処理つき共役勾配法✓定理 6.2・Krylov 部分空間法 I