Ritz 値の最適性と交互性

定理 4.2（「Krylov 部分空間法 I」§4）・ ✓公理まで証明済み

$1 \le k \le d$ とする。

$\theta_1^{(k)} = \max\{R_A(\boldsymbol{x}) : \boldsymbol{x} \in \mathcal{K}_k,\ \boldsymbol{x} \ne \boldsymbol{0}\}$ 、 $\theta_k^{(k)} = \min\{R_A(\boldsymbol{x}) : \boldsymbol{x} \in \mathcal{K}_k,\ \boldsymbol{x} \ne \boldsymbol{0}\}$ 。
$\lambda_i \ge \theta_i^{(k)} \ge \lambda_{i+n-k}$ （ $1 \le i \le k$ ）。
$k + 1 \le d$ なら $\theta_i^{(k+1)} \ge \theta_i^{(k)} \ge \theta_{i+1}^{(k+1)}$ （ $1 \le i \le k$ ）。とくに $\theta_1^{(k)}$ は $k$ について単調に増加して $\lambda_1$ を超えず、 $\theta_k^{(k)}$ は単調に減少して $\lambda_n$ を下回らない。
$k = d$ なら Ritz 値はすべて $A$ の固有値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 35 件、定義なども含めて 38 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

レイリー商の最大・最小✓定理 7.1・スペクトル定理
- 主軸定理と正定値性の判定✓定理 6.3・スペクトル定理
  - 実対称行列の直交対角化✓系 4.3・スペクトル定理
    エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理この先をたどる →
    スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理（上で展開済み）
    不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理この先をたどる →
    ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
  - スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
    固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
    エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理この先をたどる →
    不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理この先をたどる →
    直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化（上で展開済み）
    ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
コーシーの交互定理✓定理 3.3・行列の固有値評価と不等式
- クーラン・フィッシャーの最大最小原理✓定理 3.1・行列の固有値評価と不等式
  - スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  - ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性
    閉直方体はコンパクト✓補題 5.1・コンパクト性この先をたどる →
    コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性この先をたどる →
    ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
    ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性この先をたどる →
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  - 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性
    コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性この先をたどる →
    ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性（上で展開済み）
  - 直和の判定と次元公式✓命題 5.2・双対空間と商空間
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
Arnoldi の関係式✓定理 3.2・Krylov 部分空間法 I
- Krylov 部分空間の基本性質✓命題 2.2・Krylov 部分空間法 I
  - 対角化と固有基底✓定理 3.2・対角化とジョルダン標準形
- 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化

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最大の Ritz 値の収束（Kaniel–Paige の評価）✓定理 4.3・Krylov 部分空間法 I

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