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Peskun の順序

定理 5.4（「Markov 連鎖 Monte Carlo」§5）・ ✓公理まで証明済み

$P_1, P_2$ を、同じ正の確率分布 $\pi$ について可逆で既約な $S$ 上の遷移行列とし、すべての $x \ne y$ で

P_1(x, y) \ge P_2(x, y)

とする。このとき次が成り立つ。

すべての $g$ で $\langle g, (I - P_1)g\rangle_\pi \ge \langle g, (I - P_2)g\rangle_\pi$ 。したがって $\gamma(P_1) \ge \gamma(P_2)$ 。
すべての $f : S \to \mathbb{R}$ で $\sigma_f^2(P_1) \le \sigma_f^2(P_2)$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 28 件、定義なども含めて 32 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Dirichlet 形式とスペクトルギャップ定義 6.1・Markov 連鎖と Poisson 過程
スペクトルギャップの固有値表示と指数減衰✓命題 6.2・Markov 連鎖と Poisson 過程
- 実対称行列の直交対角化✓系 4.3・スペクトル定理
  - エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
  - スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
    固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
    エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理（上で展開済み）
    不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理（上で展開済み）
    直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
- レイリー商の最大・最小✓定理 7.1・スペクトル定理
  - 主軸定理と正定値性の判定✓定理 6.3・スペクトル定理
    実対称行列の直交対角化✓系 4.3・スペクトル定理（上で展開済み）
    ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
    スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理（上で展開済み）
可逆な連鎖のスペクトル分解✓補題 2.6・Markov 連鎖 Monte Carlo
- 実対称行列の直交対角化✓系 4.3・スペクトル定理（上で展開済み）
- Dirichlet 形式とスペクトルギャップ定義 6.1・Markov 連鎖と Poisson 過程
可逆な連鎖の漸近分散✓定理 5.2・Markov 連鎖 Monte Carlo
- 可逆な連鎖のスペクトル分解✓補題 2.6・Markov 連鎖 Monte Carlo（上で展開済み）
- 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値
  - 期待値定義 4.1・確率変数と期待値
  - 確率空間では L² ⊂ L¹✓命題 5.2・確率変数と期待値
逆作用素の単調性✓補題 5.3・Markov 連鎖 Monte Carlo

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Metropolis の採択関数の最適性✓系 5.5・Markov 連鎖 Monte Carlo

Peskun の順序

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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