数学 › 確率論 › Markov 連鎖と Poisson 過程

Dirichlet 形式とスペクトルギャップ

定義 6.1(「Markov 連鎖と Poisson 過程」§6)

EP(f,f)=⟨f,(I−P)f⟩π=12∑x,yπ(x)P(x,y)(f(x)−f(y))2\mathcal{E}_P(f,f)=\langle f,(I-P)f\rangle_\pi=\frac12\sum_{x,y}\pi(x)P(x,y)\bigl(f(x)-f(y)\bigr)^2

を PP の Dirichlet 形式、

λ(P)=min⁡{EP(f,f)Varπ(f): Varπ(f)>0}\lambda(P)=\min\Bigl\{\frac{\mathcal{E}_P(f,f)}{\mathrm{Var}_\pi(f)}:\ \mathrm{Var}_\pi(f)>0\Bigr\}

をスペクトルギャップという。レート行列 QQ(π\pi に関して可逆:π(x)q(x,y)=π(y)q(y,x)\pi(x)q(x,y)=\pi(y)q(y,x))については EQ(f,f)=−⟨f,Qf⟩π=12∑π(x)q(x,y)(f(x)−f(y))2\mathcal{E}_Q(f,f)=-\langle f,Qf\rangle_\pi=\frac12\sum\pi(x)q(x,y)(f(x)-f(y))^2 と λ(Q)\lambda(Q) を同様に定める。

本文で読む(前後の説明と例)→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です(証明を要しません)。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり(閉包未完)・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

これを使っている定理 証明で参照している 3 件