情報科学 › 乱数と確率的数値計算 › Markov 連鎖 Monte Carlo

可逆な連鎖のスペクトル分解

補題 2.6（「Markov 連鎖 Monte Carlo」§2） ・ ✓公理まで証明済み

PP を、正の確率分布 π\pi について可逆な SS 上の遷移行列とし、d=∣S∣d = |S| とする。

  1. 実数 1=λ1≥λ2≥⋯≥λd≥−11 = \lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \cdots \ge \lambda_d \ge -1 と SS 上の実数値関数 φ1=1,φ2,…,φd\varphi_1 = \mathbf{1}, \varphi_2, \ldots, \varphi_d で、Pφj=λjφjP\varphi_j = \lambda_j\varphi_j、⟨φi,φj⟩π=δij\langle\varphi_i, \varphi_j\rangle_\pi = \delta_{ij} を満たすものが存在する。
  2. 任意の ff について f=∑j⟨f,φj⟩πφjf = \sum_j\langle f, \varphi_j\rangle_\pi\varphi_j、⟨f,f⟩π=∑j⟨f,φj⟩π2\langle f, f\rangle_\pi = \sum_j\langle f, \varphi_j\rangle_\pi^2、Varπ(f)=∑j≥2⟨f,φj⟩π2\mathrm{Var}_\pi(f) = \sum_{j \ge 2}\langle f, \varphi_j\rangle_\pi^2 であり、すべての t≥0t \ge 0 と x,y∈Sx, y \in S について Pt(x,y)=π(y)∑j=1dλjt φj(x)φj(y).P^t(x, y) = \pi(y)\sum_{j=1}^d\lambda_j^t\,\varphi_j(x)\varphi_j(y). 特に ∑j=1dφj(x)2=1/π(x)\sum_{j=1}^d\varphi_j(x)^2 = 1/\pi(x) である。
  3. PP が既約ならば λ2<1\lambda_2 < 1。さらに非周期的ならば λd>−1\lambda_d > -1。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 20 件、定義なども含めて 23 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 5 件