情報科学 › 乱数と確率的数値計算 › Markov 連鎖 Monte Carlo

可逆な連鎖の漸近分散

定理 5.2（「Markov 連鎖 Monte Carlo」§5）・ ✓公理まで証明済み

$P$ を、正の確率分布 $\pi$ について可逆で既約な $S$ 上の遷移行列とする。任意の $f : S \to \mathbb{R}$ について漸近分散が存在し、補題 2.6 の記号で

\sigma_f^2 = \sum_{j=2}^{d}\langle f, \varphi_j\rangle_\pi^2\,\frac{1 + \lambda_j}{1 - \lambda_j} \le \Bigl(\frac{2}{\gamma} - 1\Bigr)\mathrm{Var}_\pi(f)

である。 $f$ が $\lambda_2$ の固有関数のとき等号が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 23 件、定義なども含めて 27 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

可逆な連鎖のスペクトル分解✓補題 2.6・Markov 連鎖 Monte Carlo
- 実対称行列の直交対角化✓系 4.3・スペクトル定理
  - エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
  - スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
    固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
    エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理（上で展開済み）
    不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理（上で展開済み）
    直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
- Dirichlet 形式とスペクトルギャップ定義 6.1・Markov 連鎖と Poisson 過程
分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値
- 期待値定義 4.1・確率変数と期待値
- 確率空間では L² ⊂ L¹✓命題 5.2・確率変数と期待値

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Peskun の順序✓定理 5.4・Markov 連鎖 Monte Carlo

可逆な連鎖の漸近分散

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件