情報科学 › 乱数と確率的数値計算 › 分布からの標本抽出

多次元正規分布からの生成

命題 5.3（「分布からの標本抽出」§5） ・ ✓公理まで証明済み

μ∈Rd\mu \in \mathbb{R}^d、Σ\Sigma を dd 次の実対称半正定値行列とする。

  1. r≥1r \ge 1、LL を LLT=ΣLL^{\mathsf{T}} = \Sigma を満たす d×rd \times r 行列、Z=(Z1,…,Zr)Z = (Z_1, \ldots, Z_r) を独立な標準正規変数の列とすると、μ+LZ∼N(μ,Σ)\mu + LZ \sim N(\mu, \Sigma) である。
  2. Σ\Sigma が正定値なら、対角成分が正の下三角行列 LL（Cholesky 因子）で LLT=ΣLL^{\mathsf{T}} = \Sigma となるものがある。
  3. Σ\Sigma の階数が r≥1r \ge 1 のとき、正の固有値 λ1,…,λr\lambda_1, \ldots, \lambda_r と対応する正規直交な固有ベクトル p1,…,pr\boldsymbol{p}_1, \ldots, \boldsymbol{p}_r から作った d×rd \times r 行列 L=(λ1p1 ⋯ λrpr)L = (\sqrt{\lambda_1}\boldsymbol{p}_1\ \cdots\ \sqrt{\lambda_r}\boldsymbol{p}_r) は LLT=ΣLL^{\mathsf{T}} = \Sigma を満たす。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 138 件、定義なども含めて 164 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。