Cholesky 分解の存在と一意性

定理 2.1（「Cholesky 分解と帯行列・疎行列の直接法」§2）・ ✓公理まで証明済み

$A\in M_n(\mathbb{R})$ を対称行列とする。 $A$ が正定値（定義 6.2［スペクトル定理］）であることと、対角成分がすべて正の上三角行列 $R$ で

A=R^{\mathsf{T}}R

と書けることは同値である。このとき $R$ は一意である。さらに $A=\begin{pmatrix}\alpha&\boldsymbol{w}^{\mathsf{T}}\\\boldsymbol{w}&B\end{pmatrix}$ と分けると、 $R$ の第 1 行は $(\sqrt\alpha,\ \boldsymbol{w}^{\mathsf{T}}/\sqrt\alpha)$ で、 $R$ から第 1 行と第 1 列を除いた行列は Schur 補行列 $S=B-\boldsymbol{w}\boldsymbol{w}^{\mathsf{T}}/\alpha$ の Cholesky 因子である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 18 件、定義なども含めて 20 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

シュール補行列✓定理 4.2・行列の固有値評価と不等式
- ブロック三角行列の行列式✓補題 4.1・行列の固有値評価と不等式
  - 行列式（ライプニッツの公式）定義 3.1・行列式とその性質
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
- 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
- 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質
  - 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
    余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質この先をたどる →
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質（上で展開済み）
- シルヴェスターの慣性法則✓定理 6.1・行列の分解と標準形
  - 直和の判定と次元公式✓命題 5.2・双対空間と商空間
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 3 件

多次元正規分布からの生成✓命題 5.3・分布からの標本抽出
帯行列の分解は帯幅を保つ✓定理 5.1・Cholesky 分解と帯行列・疎行列の直接法
fill-in の経路定理✓定理 6.4・Cholesky 分解と帯行列・疎行列の直接法

Cholesky 分解の存在と一意性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

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