数学 › 線形代数学 › 行列の固有値評価と不等式

シュール補行列

定理 4.2（「行列の固有値評価と不等式」§4） ・ ✓公理まで証明済み

M=(ABCD)M=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix} とする。

  1. DD が正則のとき、SD=A−BD−1CS_D=A-BD^{-1}C（DD に関するシュール補行列）とおくと M=(IBD−10I)(SD00D)(I0D−1CI)M=\begin{pmatrix}I&BD^{-1}\\0&I\end{pmatrix}\begin{pmatrix}S_D&0\\0&D\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I&0\\D^{-1}C&I\end{pmatrix} であり、det⁡M=det⁡D⋅det⁡SD\det M=\det D\cdot\det S_D。MM が正則であることと SDS_D が正則であることは同値で、このとき M−1M^{-1} の左上ブロックは SD−1S_D^{-1} である。
  2. AA が正則のとき、SA=D−CA−1BS_A=D-CA^{-1}B とおくと M=(I0CA−1I)(A00SA)(IA−1B0I),det⁡M=det⁡A⋅det⁡SA,M=\begin{pmatrix}I&0\\CA^{-1}&I\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&0\\0&S_A\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I&A^{-1}B\\0&I\end{pmatrix},\qquad\det M=\det A\cdot\det S_A, MM が正則ならば M−1M^{-1} の左上ブロックは A−1+A−1BSA−1CA−1A^{-1}+A^{-1}BS_A^{-1}CA^{-1} である。
  3. M=(ABB∗D)M=\begin{pmatrix}A&B\\B^{*}&D\end{pmatrix} がエルミート行列で DD が正則なら、MM の正の固有値・負の固有値の個数は、DD と SDS_D のそれらの和である。とくに DD が正定値のとき、MM が正定値（半正定値）であることと SDS_D が正定値（半正定値）であることは同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 17 件、定義なども含めて 19 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 8 件

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