ウッドベリーの公式と行列式補題

定理 4.3（「行列の固有値評価と不等式」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A$ （ $n$ 次）、 $C$ （ $k$ 次）を正則行列、 $U$ を $n\times k$ 、 $V$ を $k\times n$ とする。このとき $A+UCV$ が正則であることと $C^{-1}+VA^{-1}U$ が正則であることは同値で、そのとき

(A+UCV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U\bigl(C^{-1}+VA^{-1}U\bigr)^{-1}VA^{-1},

\det(A+UCV)=\det A\cdot\det C\cdot\det\bigl(C^{-1}+VA^{-1}U\bigr)

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 18 件、定義なども含めて 20 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

シュール補行列✓定理 4.2・行列の固有値評価と不等式
- ブロック三角行列の行列式✓補題 4.1・行列の固有値評価と不等式
  - 行列式（ライプニッツの公式）定義 3.1・行列式とその性質
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
- 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
- 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質
  - 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
    余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質この先をたどる →
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質（上で展開済み）
- シルヴェスターの慣性法則✓定理 6.1・行列の分解と標準形
  - 直和の判定と次元公式✓命題 5.2・双対空間と商空間
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

$H_j, D_j$ の指数減衰（BOS 1989 の Theorem III.1 の再構成）✓補題 5.3・Dimock『Multiscale block averaging for QED₃』精読第 2 部

ウッドベリーの公式と行列式補題

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件