数学 › 線形代数学 › 行列の分解と標準形

シルヴェスターの慣性法則

定理 6.1（「行列の分解と標準形」§6）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を $n$ 次エルミート行列とする。

正則行列 $S$ が存在して $S^{*}AS=\operatorname{diag}(I_p,-I_q,0_z)$ となり、 $p=n_+(A)$ 、 $q=n_-(A)$ 、 $z=n_0(A)$ 。
$S$ が正則ならば $B=S^{*}AS$ のエルミート行列としての $n_\pm(B)$ 、 $n_0(B)$ は $A$ のものと一致する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 7 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

直和の判定と次元公式✓命題 5.2・双対空間と商空間
- 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
  - 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換
    生成される部分空間は S を含む最小の部分空間✓補題 4.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 4 件

LDLᵀ 分解による慣性の認証✓定理 3.1・行列計算の認証と最適化の証明書
Hessian の変換則✓命題 2.2・Morse 理論
シュール補行列✓定理 4.2・行列の固有値評価と不等式
LDLᵀ 分解と慣性✓命題 4.1・Cholesky 分解と帯行列・疎行列の直接法

関連するノック 2 問